Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 3 из 9)

Вариант эквиаффинной геометрии, в котором фундаментальной группой считается группа эквиаффинных преобразований, сохраняющих ориентацию, конечно, также возможен. В этой геометрии имеет смысл понятие ориентированной площади.

§3. Аффинные преобразования и их свойства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Преобразование аффинной плоскости или аффинного пространства называется аффинным, если любые три коллинеарные точки она переводит в три коллинеарные точки («сохраняет отношение коллинеарности»).

Замечание 1. Будем говорить, что прямая

соответствует прямой в аффинном преобразовании Ф.

Свойство 1. Аффинное преобразование Ф каждую прямую

отображает на соответствующую прямую

.

Свойство 2. Преобразование Ф переводит параллельные прямые в параллельные.

Свойство 3. Аффинное преобразование Ф каждую полупрямую

отображает на соответствующую полупрямую

.

Свойство 4. Аффинное преобразование Ф каждый отрезок а отображает на соответствующий отрезок

.

Свойство 5. Преобразование Ф переводит параллельные отрезки в параллельные.

Чтобы сформулировать следующее свойство аффинных преобразований, рассмотрим две различные точки М₁, М₂ и проходящую через них прямую

. Пусть k – отношение, в котором некоторая точка М прямой

делит направленный отрезок

. При произвольном аффинном преобразовании Ф коллинеарные точки М₁, М₂, М перейдут в коллинеарные точки , и потому будет определено отношение , в котором точка делит отрезок .

Свойство 6. Имеет место равенство

,

т. е. аффинное преобразование сохраняет отношение, в котором данная точка делит данный отрезок.

Поскольку внутренние точки отрезка

характеризуются условием , из этого свойства вытекает

Следствие. Преобразование Ф каждую внутреннюю точку отрезка

переводит во внутреннюю точку отрезка .

§4. Подобие как частный случай аффинного преобразования

Определение 2. Аффинное преобразование Ф называется преобразованием подобия, если оно сохраняет углы между прямыми, т. е. если любые две (пересекающиеся) прямые

и оно переводит в прямые и , образующие тот же угол.

Ясно, что

все преобразования подобия образуют группу.

Соответствующая геометрия называется геометрией подобия. Фигуры, равные в этой геометрии, т. е. фигуры, переводящиеся друг в друга преобразованием подобия, называются подобными.

Покажем, что это понятие подобия совпадает с привычным, известным из элементарного курса, т. е. что две фигуры тогда и только тогда подобны, когда после соответствующего перемещения они гомотетичны . Для этого, очевидно, достаточно показать, что любое преобразование подобия является композицией некоторого ортогонального преобразования (движения или движения плюс симметрия) и некоторой гомотетии, т. е. преобразования, выражающегося в соответствующим образом подобранной системе прямоугольных координат х, у формулами вида

где h — коэффициент гомотетии.

Для этого в свою очередь достаточно показать, что преобразование вида

,

тогда и только тогда сохраняет углы между прямыми, когда

, т. е.когда оно является гомотетией.

Но это ясно. Действительно, преобразование переводит ось абсцисс

в себя, а прямую с уравнением

– в прямую с уравнением

.

Поэтому угол между осью абсцисс и прямой тогда и только тогда сохраняется при преобразовании , когда

,

т. е. когда

.

Чтобы перейти от геометрии подобия к евклидовой геометрии, достаточно выбрать эталон длины.

Глава II. Геометрия Галилея и дуальные числа

§1. Определение геометрии Галилея

Поскольку любое аффинное преобразование переводит любое направление на плоскости (пучок параллельных прямых) снова в некоторое направление, интересно рассмотреть аффинные преобразования, которые сохраняют данное направление (особое направление). Множество таких преобразований плоскости образуют группу, а соответствующую геометрию называют геометрией Галилея.

Если за особое направление выбрать ось Оу, то преобразования Галилея, зададутся формулами

Таким образом, нас будут интересовать лишь те свойства фигур плоскости хОу, которые сохраняются при преобразованиях (другими словами, сохраняются при сдвигах)

в направлении оси Оу и при параллельных переносах

Лишь такие свойства фигур имеют геометрический смысл в рамках рассматриваемой геометрии. Сама эта геометрия возникла из механических рассуждений, так что слова «имеют геометрический смысл» в нашем случае означает: «имеют механический смысл», то есть отвечают каким-то фактам «одномерной кинематики» - учения о движениях материальных точек вдоль фиксированной прямой О.

Перечислим основные свойства «движений» . Заметим, что преобразования переводят

o каждую прямую линию снова в прямую линию;

o параллельные прямые снова в параллельные прямые;

o два отрезка АВ и CD одной прямой в такие отрезки А'В' и С'D' , что

;

o каждую фигуру F в фигуру F' той же площади;

Поэтому понятие прямой линии, параллельных прямых, отношения отрезков одной прямой, площади фигуры имеют смысл не только в обычной геометрии Евклида, но и в геометрии Галилея. Очень важно также то, что каждое преобразование переводит любую прямую, параллельную оси Оу, снова в прямую, параллельную оси Оу, – так что, если в геометрии Евклида понятие «прямая, параллельная оси Оу» является геометрически бессодержательным (ибо обычным движением такую прямую можно перевести в любую другую), то в геометрии Галилея параллельные оси Оу прямые играют особую роль, отличную от роли всех остальных прямых. [В противоположность этому «прямые, параллельные оси OX» не отличаются от других «обыкновенных» (т. е. не параллельных оси Oy) прямых.] В дальнейшем сохраним термин «прямая», не сопровождаемый никаким прилагательным, только за прямыми, не параллельными оси Оу; параллельные же оси Оу прямые мы будем называть особыми прямыми.