Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 7 из 9)

Заметим еще, что из соотношений вытекает пропорциональность сторон треугольников АВС и А'С'В', имеющих одинаковые углы (см. рис. 12, б): для таких двух треугольников

.

В этом случае треугольник А'В'С' можно получить из треугольника ABC преобразованием подобия 1-го рода с коэффициентом подобия k — отображением плоскости Галилея на себя, сохраняющим величины всех углов и увеличивающим все отрезки в одно и то же число k раз (примером такого преобразования подобия может служить сжатие к точке О или гомотетия – преобразование, переводящее каждую точку А плоскости в такую точку А' луча ОА, что

рис. 14, а). Аналогично этому, если стороны треугольника А'В'С' равны сторонам треугольника ABC

(см. рис. 12, а), то в силу тех же соотношений углы этих треугольников пропорциональны:

.

В этом случае треугольник А'В'С' можно получить из треугольника ABC так называемым преобразованием подобия 2-го рода с коэффициентом подобия

– отображением плоскости Галилея на себя, сохраняющим величины всех отрезков плоскости Галилея и увеличивающим величины всех углов в одно и то же число

раз (примером такого преобразования может служить сжатие к прямой Ох, переводящее каждую точку А плоскости в такую точку А' луча РА || Оу, что

;

см. рис. 14, б).

§6. Дуальные числа и операции над ними

1. Определение дуальных чисел и действий над ними

По аналогии с комплексными числами введем следующие определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Дуальным числом z называется упорядоченная пара

действительных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Два дуальных числа

и

считаются равными (пишут

=

) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Если х =

– дуальное число, то а назовем действительной частью; а b – мнимой частью, сохранив старые обозначения: a = Re z, b = Im z. Числа

, для которых , будем как и в случае комплексных чисел, называть мнимыми, а числа вида , , – чисто мнимыми.

Определим операции сложения и умножения дуальных чисел (т. е. пар вида

).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть

и

– два дуальных числа. Тогда сумма

определяется равенством

,

а произведение

– равенством

.

Операции сложения и умножения дуальных чисел обладают следующими свойствами:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

.

Для пар вида

определенные выше операции сложения и умножения сводятся к соответствующим операциям над действительными числами, т. е. имеют место равенства

;

.

Поэтому пару

можно кратко обозначить через а.

Число (0, 1) обозначим буквой

. Согласно закону умножения дуальных чисел, имеем

.

В принятых обозначениях равенство принимает вид

. Поскольку пару

можно обозначить так:

.

В дальнейшем будем записывать дуальные числа в виде:

Такую форму записи дуального числа, по аналогии с комплексными числами, называют алгебраической. При этом следует иметь в виду, что

(0, 1)(0, 1) = (0, 0), т. е.

.

Если перейти к алгебраической форме записи дуальных чисел, то формулы , примут вид

;

.

Помимо отмеченных свойств сложения и умножения дуальных чисел, для любого числа

справедливы следующие равенства:

6)

;

7)

.

Кроме того каждое дуальное число

имеет противоположное ему число . Однако не каждое число имеет обратное ему число, т. е. число такое, что . Покажем, что если , , то обратное ему число имеет вид

.

Числа вида

не имеют обратных.

Пусть

. Согласно определению обратного числа, имеем

или

.

Отсюда, пользуясь определением равенства дуальных чисел, получим систему для отыскания с и d:

Если a = 0, то система не имеет решения и, следовательно, не существует числа

такого, что . Рассмотрим теперь случай, когда . Из первого уравнения находим . Подставляя это выражение во втрое уравнение, получаем , откуда .

Операция вычитания и деления дуальных чисел определяются следующими равенствами:

;

, .