Геометрия Галилея и дуальные числа (стр. 6 из 9)

.

Таким образом, длины сторон любого треугольника плоскости Галилея пропорциональны величинам противоположных углов:

, , ,

где

— коэффициент пропорциональности, поэтому формула получается из формулы умножением обеих частей формулы на .

Для доказательства формул достаточно провести «высоты» АР, BQ и CR треугольника ABC, т. е. особые прямые, проходящие через вершины А, В и С треугольника и пересекающие его противоположные стороны в точках Р, Q и R. Длины высот мы, как принято и в евклидовой геометрии, обозначим через h_a, h_b и h_c:

,

,

.

В силу определения углов в геометрии Галилея, очевидно, имеем

(рис. 9, а; напомним, что

и ); поэтому

.

Точно так же с использованием высот h_b и h_a доказывается, что

и

.

Вот еще одно следствие соотношений . Нетрудно видеть, что если S – площадь треугольника ABC (это понятие, как известно, сохраняет смысл и в геометрии Галилея), то

.

В самом деле, «повернем» (при помощи некоторого движения ) треугольник ABC в такое положение А'В'С', чтобы сторона В'С'

треугольника А'В'С' била параллельна оси Ох (рис. 9, б). При этом «галилеева длина» а' стороны В'С' преобразованного треугольника и его «галилеева высота»

станут равными «евклидовой длине» стороны В'С' и «евклидовой длине» высоты А'Р', так что

,

где S' — площадь треугольника А'В'С' (одновременно «галилеева» и «евклидова» — ведь в геометрии Галилея понятие площади имеет тот же смысл, что и в геометрии Евклида). Но поскольку величины a, h_a и S имеют смысл в геометрии Галилея, то они не меняются при движениях : а' = а, h'_a = h_a и S' = S (рис. 9, а и б), а значит,

Аналогично доказываются и две другие из формул .

Подставляя теперь в первую из формул h_a = bC, а в третью — значения высоты h_c, получим

Формулы родственны формулам

евклидовой геометрии.

Из формул сразу вытекает, что известное свойство равнобедренного треугольника евклидовой геометрии сохраняет силу и в геометрии Галилея: если стороны а и b треугольника ABC равны между собой, то равны и противолежащие им углы А и В и наоборот (т. к.

; см. рис. 10).

Очевидно также, что высота CR равнобедренного треугольника ABC одновременно является также и медианой, т. е. она делит противоположную сторону АВ пополам (см. рис. 10, на котором AR = AC = b, BR = BC = a). Однако биссектрисой угла С прямая CR уже, очевидно, не является, т. к. особая прямая делить угол пополам, разумеется, никак не может. Отсюда сразу следует, что три биссектрисы треугольника в геометрии Галилея не обязаны пересекаться в одной точке: так, на рис. 10 биссектрисы АК и BL углов А и В, очевидно, пересекаются в середине Q высоты CR, но прямая CQ (т. е. CR), как у уже отмечали, не совпадает с биссектрисой CN угла С. В противоположность этому три медианы AD, BE и CF треугольника ABC обязательно пересекаются в одной точке М и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины: AM:MD = BM:ME = CM:MF = 2:1. Это следует из того, что медианы треугольника ABC геометрии Галилея совпадают с его евклидовыми медианами и отношения, в которых делит медианы точка их пересечения, имеют в геометрии Галилея и в геометрии Евклида одно и то же значение (рис. 11).

Отметим еще, что в геометрии Галилея не может быть треугольника, у которого все три стороны равны между собой: ведь если две стороны треугольника одинаковы, то третья обязательно равна их сумме. Аналогичное замечание справедливо и для углов; поэтому равнобедренный треугольник можно также назвать равноугольным, так как равенство двух углов (а только такая «равноугольность» возможна в треугольнике) равносильно равнобедренности треугольника.

Если условиться обозначать

, , и , , направленные (т.е. взятые с определенным знаком) стороны и углы треугольника ABC плоскости Галилея, то формулы – примут следующий простой вид:

,

,

;

таким образом, и здесь имеют место соотношения типа соотношения , где

также и знаку коэффициента пропорциональности

можно придать определенный геометрический смысл.

Остановимся еще на признаках равенства треугольников в геометрии Галилея. Ясно, что два треугольника ABC и А'В'С', имеющих

одинаковые стороны или одинаковые углы, не обязаны быть равными между собой: ведь две стороны треугольника в геометрии Галилея позволяют найти третью сторону, а два угла – третий угол, в то время как двумя сторонами или двумя углами треугольник плоскости Галилея, очевидно, не определяется (рис. 12 a, б). Также из того, что, скажем, две стороны а и b треугольника ABC и заключенный между ними угол С или сторона а и два примыкающих к ней угла В и С треугольника ABC равны сторонам а' и b' и углу С', соответственно стороне а' и углам В' и С' треугольника А'В'С', еще не вытекает равенство треугольников ABC и А'В'С' (так, у треугольников ABC и А₁ВС на рис. 13, а сторона ВС = а и угол С—общие, а АС = А₁С, но АВ = a + b, а А₁В = а – b; у треугольников ABC' и А₁ВС на рис. 13, б сторона ВС = а и угол С—общие и

= , тогда как явно AВ > А₁В). Однако если направленные (т.е. взятые со знаком + или –) стороны и треугольника ABC равны направленным сторонам и треугольника А'В'С' и , то треугольники ABC и А'В'С' равны; также треугольники ABC и А'В'С' равны, если и , .