Многомерные пространства понятие и виды (стр. 10 из 17)
(неравенство Коши – Буняковского). Таким образом, доказательство неравенства (4) сводится к доказательству неравенству Коши – Буняковского. Докажем последнее. Ясно, что
.Следовательно, квадратный трёхчлен, стоящий слева, принимает только неотрицательное значения, поэтому его дискриминант
, (#)откуда и следует неравенство Коши – Буняковского. ▲
Лемма. 
(теорема Пифагора в Еn)
▲
▲ (*)
Следствие. (*)
Итак,
Теорема. Если три точки А, В и С различны, то неравенство в формуле (4) имеет место тогда и только тогда, когда точка В лежит между А и
▲ А. Пусть точка В лежит между А и С,
т. е.
Тогда (в обозначениях предыдущей теоремы) 
Вычислим левую часть формулы (#):
Значит, в этом случае в формуле (4) имеем знак равенства.
Б. Пусть точка В не лежит на прямой (АС):
Найдём на прямой (АС) точку D (
(такая точка называется ортогональной проекцией точки В на прямую (АС)). Ищем 
, т. е. 
и точка D определена. По следствию из леммы:
Отсюда следует, что если точка В не лежит на прямой (АС), то сумма расстояний
не может быть наименьшей. Значит, равенство в формуле (4) возможно только в случае, когда точка В лежит на прямой (АС). Пусть точка В лежит на прямой (АС) и отлична от точек А и С. Тогда 
Возможны три случая: 1) 
(точка В лежит между А и С); 2) 
; 3) 
.Докажем, что если
(4')то случаи 2 и 3 не могут иметь места.
В случае 2:
(5)Но
(5)
, и так как 
, то 
Следовательно, точка А лежит между В и С и по доказанному в п0 А:
, где 
, и, значит, точка С лежит между А и В. По доказанному в п0 А: 
 |
и какую-либо точку О. По первой аксиоме Вейля 
. 
. Пусть 
- орты векторов 
, такой, чтобы вектор 
был ортогонален вектору 
: 
существует число α, такое, что 
. Это число α называется величиной угла между векторами 
. Учитывая, что 
,
(**)
;
и каждой точке 
, имеющей координаты xi в репере R, поставим в соответствие точку М' с теми же координатами xi относительно репера R'. Мы получим преобразование пространства Еn, которое называется движением (или перемещением, или изометрией).
в ортонормированный 
. Такое линейное преобразование евклидового векторного пространства V называют ортогональным (оно сохраняет скалярное произведение векторов). Следовательно, движение пространства Еn порождается ортогональным преобразованием пространства переносов V.