Многомерные пространства понятие и виды (стр. 12 из 17)

Группа движений пространства

.

Обозначим через

, множество всех движений евклидова пространства . Всякое движение f пространства является таким преобразованием этого пространства, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, произведение gf двух движений f и g, а также обратное преобразование f^-1 будут преобразованиями пространства , сохраняющими расстояние между любыми двумя точками, т.е. будут движениями. Следовательно, множество является группой (относительно умножения), она называется группой движений пространства .

Две фигуры

называются конгруэнтными, если они эквивалентны относительно группы , т.е. если существует движение, которое переводит одну из этих фигур в другую.

Движение f называется движением первого (второго) рода, если в формулах:

задающих это движение в ортонормированном репере , имеет место соотношение (соответственно ).

Следовательно, движение 1-го рода сохраняет ориентацию пространства (т.е. переводит репер

в репер , одинаково с ним ориентированный), а движение 2-го рода меняет ориентацию пространства (переводит репер в противоположно ориентированный репер ).

Отметим важнейшие подгруппы группы движений.

I. Множество всех движений 1-го рода является группой (группа движений 1-го рода); движения 1-го рода сохраняют ориентацию каждого репера.

II. Множество движений

всех движений, оставляющих неподвижной точку , также является группой. В ортонормированном репере всякое движение определяется формулами (1), где , тогда (*) или в матричной форме: (**), где - матрица (в базисе ) того ортогонального преобразования φ пространства переносов V , которое порождает данное движение f . Как известно, принимая точку О за начало пространства с векторным пространством φ. Тогда рассматриваемое движение f пространства будет просто совпадать с порождающим его ортогональным преобразованием φ векторного пространства V.

Учитывая это, всякое движение

называется ортогональным преобразованием пространства , а группу - группой ортогональных преобразований, этого пространства (или ортогональной группой).

Расстояние

точки М от начала О является инвариантом относительно группы .

ІІІ. Ортогональные преобразования 1-го рода ( в формулах (*)

) называются вращениями пространства вокруг точки О. Множество всех вращений пространства вокруг точки О, является группой (группа вращений пространства ). Она является подгруппой группы , также подгруппой группы движений 1-го рода.

Расстояние

и ориентация репера сохраняются при любых вращениях вокруг точки О.

IV. Если в формулах (1), задающих движение, матрица

единичная, то эти формулы примут вид: .

Такое движение называется параллельным переносом и вполне определяется вектором переноса

. Следовательно, и в евклидовом пространстве (как и в аффинном ) мы имеем группу переносов. Параллельные переносы сохраняют любое направление в (т.е. переводят в себя каждое множество одинаково направленных лучей). Очевидно, перенос пространства - движение 1-го рода.

Рассмотрим, движения трехмерного евклидова пространства

.

а) Пусть дана плоскость

. Две точки и называются симметричными относительно плоскости , если плоскость перпендикулярна отрезку и проходит через его середину. Если же , то говорят, что эта точка симметрична самой себе относительно .

Отображение f:

называется симметрией относительно плоскости (или отражением от плоскости ), если точки и симметричны относительно плоскости , .

Рассмотрим такое отображение f и примем плоскость

в качестве плоскости ортонормированной системы координат . Если - координаты точки в репере , то точка имеет координаты в том же репере. Возьмем еще какие- либо две точки и симметричные относительно плоскости . Тогда, как легко подсчитать, . Отсюда следует, что f-движение.