Многомерные пространства понятие и виды (стр. 13 из 17)

Как известно, репер

можно определить упорядоченной четверкой точек .

В симметрии относительно плоскости

точки инвариантны, а точка перейдет в точку . Следовательно, f переводит репер в репер . Здесь определитель матрицы С перехода от базиса к базису , и поэтому симметрия относительно плоскости есть движение II рода;

б) рассмотрим пару одинаково ориентированных ортонормированных реперов

и .

Существует движение, которое переводит репер

в . Это движение называется поворотом пространства вокруг оси

на угол .

Так как реперы

и одинаково ориентированы, то поворот –движение I рода. Ясно, что любая точка оси поворота инвариантна в этом повороте.

Угол поворота φ считают ориентированным, если

. Именно, угол φ ориентирован положительно (отрицательно), если тройка векторов ориентирована положительно (отрицательно). Если угол поворота , то каждая точка М переходит в симметричную ей относительно прямой

точку . Это значит, что если , то , если же , то прямая

перпендикулярна к отрезку и делит его пополам. Такое движение пространства называется симметрией относительно прямой

,(это частный случай поворота, когда угол поворота );

в) произведение поворота на перенос, вектор которого параллелен оси поворота, называется винтовым движением. Поворот и перенос- движение I рода;

г) произведение поворота на отражение от плоскости

, перпендикулярной оси поворота, называется поворотным отражением. Очевидно, это движение II рода. Ось s поворота, угол φ, плоскость и точка называются соответственно осью, углом, плоскостью, и центром поворотного отражения.

Рассмотрим частный случай поворотного отражения, когда

. Легко заметить, что в этом движении каждая точка переходит в симметричную ей относительно точки О точку . Движение пространства, обладающее этим свойством, называется центральной симметрией (или отражением точки).

Теорема. Пусть

и

. Произведение поворота на угол φ вокруг оси

на отражение от точки О есть поворотное отражение на угол

Осью, плоскостью и центром этого поворотного отражения служат соответственно

и О.

Пусть

-поворот вокруг оси на угол , g-отражение от точки О, поворот вокруг оси

на угол

,

- симметрия относительно плоскости П. Для произвольной точки M пространства находим : ´, Так как где - симметрия относительно прямой , то точки , симметричны относительно оси Следовательно, точки и симметричны относительно плоскости П:

Итак,

Поэтому Но поворотное отражение (с осью плоскостью П и центром О) на угол .

Преобразование подобия. Группа подобий.

Подобием пространства

называется преобразование f этого пространства, обладающее следующим свойством: существует число k

(коэффициент подобия), такое, что

(f(Α),f(Β))=

Движение является частным случаем подобия (

=1). Другим частным случаем подобия является гомотетия.

Пусть даны точка S

и число

R, . Гомотетией с центром S и коэффициентом называется отображение g: по закону