Многомерные пространства понятие и виды (стр. 14 из 17)

g(Μ)=Μ´

=

.

Отсюда следует, что g(S)=S (S-неподвижная точка), и если Μ

, то точка Μ´ лежит на прямой (SΜ). Возьмем произвольные точки Μ и Ν и пусть

Μ´= g(Μ), Ν´= g(Ν).

Тогда

=

, =

=

. (1)

Возьмем еще одну точку L на прямой (MN). Для точки L´=f(L) имеем:

=

(2)

Пусть точки M и N различны. Тогда

= , (3)

(1),(2)

= . (4)

(3),(4)

гомотетия сохраняет отношение трех точек прямой.Поэтому в гомотетии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, прямая – в прямую, полуплоскость – в полуплоскость. Если - направляющий вектор прямой a, то - направляющий вектор прямой a´=f(a) .

(1)

a´ a.

Следовательно, гомотетия

переводит прямую в параллельную ей прямую. В гомотетии угол переходит в конгруэнтный ему угол. Это утверждение очевидно, если стороны угла лежат на одной прямой. Рассмотрим угол АОВ, стороны которого не лежат на одной прямой. Обозначим через Π плоскость, в которой лежит этот угол. В гомотетии g плоскость Π перейдет в плоскость Π´

Π, луч

Π перейдет в луч , а луч -в луч .

Если угол АОВ выпуклый, то он является пересечением полуплоскостей

и :

= .

В гомотетии g эти полуплоскости перейдут соответственно в полуплоскости

и и, значит, угол АОВ перейдет в угол

= .

Соответствующие стороны углов АОВ и А´О´В´ одинаково направлены при

и противоположно направлены при

При параллельном переносе пространства на вектор эти углы совпадают в первом случае и окажутся вертикальными во втором случае. Следовательно, эти углы конгруэнтны.

Так как g(Π)=Π´ и g

= , то угол 1, дополняющий выпуклый угол АОВ до полного угла ,переходит в гомотетии g в угол 1´, дополняющий выпуклый угол Α´О´Β´ до полного угла:

.

Значит, и невыпуклый угол гомотетия переводит в конгруэнтный ему угол. Учитывая равенство (1), находим:

|

=|

| ,

Следовательно, гомотетия является подобием. Гомотетия с центром S и коэффициентом h=-1 является центральной симметрией (относительно точки S).

Теорема. Всякое подобие является произведением гомотетии и движения.

Пусть f –подобие с коэффициентом

Возьмем какую-либо точку S и пусть g- гомотетия с центром S и коэффициентом . Если M,N -произвольные точки пространства и Μ´=f(Μ), Ν´=f(Ν), то | = | (5)

Пусть g(Μ)=Μ´´, g(Ν)=Ν´´. Тогда

|

=

| (

(6)
(5) ,(6) | =| . (7)

Преобразование

d=f переводит каждую точку Μ´´ в такую точку Μ´, что имеет место равенство (7), т.е. преобразование d сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, d=f –движение. Отсюда f=d теорема доказана.