Многомерные пространства понятие и виды (стр. 15 из 17)

Следствия. 1) В подобии сохраняется отношение трех точек; следовательно, отрезок переходит в отрезок, луч в луч;

2) в подобии угол переходит в конгруэнтный ему угол;

3) в подобии

– плоскость переходит в -плоскость.

Пусть дано подобие с коэффициентом

Возьмем какой-либо ортонормированный репер R={О,

}. По доказанному j=d , где g- гомотетия с центром О и коэффициентом k , а d-движение. Произвольная точка Μ( ) перейдет в гомотетии g в такую точку Μ´´(

) , что Следовательно,

(8)

Движение d переводит точку Μ´´ в точку Μ´=d(Μ´´)=f(Μ). Если

- координата точки Μ´´, то, как известно,

(9),

где ||

|| - ортогональная матрица.

(8),(9)

(10)

Так выражаются в ортонормированном репере R координаты точки Μ´=f(Μ) через координаты точки Μ в подобии f.

Квадрики в евклидовом n – пространстве.

1.Пусть в евклидовом пространстве Е_n дана квадрика Q, определённая в некотором ортонормированном репере

уравнением:

(1)

Совокупность старших членов

определяет квадратичную форму на пространстве переносов V. Мы можем перейти к такому ортонормированному базису , в котором квадратичная форма имеет канонический вид:

,

Где r – ранг формы

- характеристические корни её матрицы . Следовательно, в репере квадрика Q будет иметь уравнение:

. (2)

Поступая далее, как и в случае квадрики в аффинном пространстве, мы получим те же канонические уравнения квадрик, но не получим (вообще говоря) их нормальных уравнений, так как необходимая для этого замена координатных векторов

при здесь невозможна (векторы нового репера должны быть единичными) следовательно, в теории квадрик в евклидовом пространстве Е_n основную роль играют канонические уравнения этих квадрик.

Пусть квадрика Q₁ определяется в ортонормированном репере R₁ каноническим уравнением:

f (x¹, x², …, xⁿ) = 0, (*)

а квадрика Q₂ имеет в ортонормированном репере R₂ каноническое уравнение:

g (x¹, x², …, xⁿ) = 0. (**)

Легко видеть, что квадрики Q₁ и Q₂ конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует такая подстановка букв x¹, x², …, xⁿ, которая переводит уравнение (*) в уравнение (**). Так на плоскости Е₂ гиперболы

конгруэнтны.

2. Рассмотрим квадрики в трёхмерном евклидовом пространстве Е₃. В аффинном пространстве А₃ их существует 17 видов. Подходящим выбором ортонормированного репера в пространстве Е₃ мы приведём уравнение квадрики

к одному из этих 17 видов. В полученных уравнениях коэффициенты положительны. Положив

мы запишем эти уравнения так:

1)

(эллипсоид);

2)

(мнимый эллипсоид);

3)

(однополостный гиперболоид);

4)

(двуполостный гиперболоид);

5)

(точка);

6)

(конус с вершиной в точке О);

7)

(эллиптический цилиндр);

8)

(мнимый цилиндр);

9)

(гиперболический цилиндр);

10)

(прямая);

11)

(пара пересекающихся плоскостей);

12)

(пара параллельных плоскостей);

13)

(пара мнимых параллельных плоскостей);

14)

(пара совпавших плоскостей);

15)

(эллиптический параболоид);

16)

(гиперболический параболоид);

17)

(параболический цилиндр).

Задачи.

№1.

В пространстве R₄ заданы две плоскости размерности два общими уравнениями:

Выяснить их взаимное расположение?

Решение: Основная и расширенная матрицы системы

, состоящей из всех четырёх уравнений, имеют вид:

Ранги этих матриц равны четырём, поэтому плоскости пересекаются в точке. Этой точкой будет начало координат.

№2.

Выяснить взаимное расположение прямой

и гиперплоскости пространства :

.

Решение: Прямая

имеет направляющий вектор р{1, 2, 4, 0, -3}. Из теоремы *(Для того чтобы вектор р, заданный своими координатами {p₁, p₂, ..., p_n}, принадлежал плоскости, заданной общими уравнениями

необходимо и достаточно, чтобы координаты вектора

удовлетворяли соотношениям:

Þчто рÎW₄,здесь W₄ – подпространство плоскости

таким образом W_σ совпадает с W_4. Так как начальная точка прямой (0, 0, -1, -2, 2) не лежит в плоскости , то согласно следствию 2^о (Плоскости и пересекаются по некоторой плоскости , где к>s>0 (0<J<1). и не пересекаются. В силу условия рÎW₄ они полностью параллельны.