Многомерные пространства понятие и виды (стр. 16 из 17)

№3.

В ортонормированном базисе q₁,q₂,...,q_n заданы векторы:

a{a₁, a₂, ..., a_n} и b{b₁, b₂,..., b_n}. Вычислить их скалярное произведение.

Решение: По определению координат векторов имеем:

a=a₁g₁+a₂g₂+...+a_ng_n

b=b₁g₁+b₂g₂+...+b_ng_n.

Используя распределительный закон скалярного произведения, а также принимая во внимание, что базис g₁,...,g_n ортонормированный, получаем:

ab=(a₁g₁+a₂g₂+...+a_ng_n)(b₁g₁+b₂g₂+...+b_ng_n)=a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n. Таким образом, мы пришли к следующей формуле:

ab= a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n. (1)

№4.

В ортонормированном базисе даны два ненулевых вектора a{a₁, a₂, ..., a_n} и b{b₁, b₂,..., b_n}. Найти косинус угла образованного данными векторами.

Решение: Пользуясь формулами: ab=a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n и

(2), выразим ab, и через координаты векторов и . Подставив эти выражения в соотношение: получим: (3)

№5.

Пусть в ПДСК Оg_i даны две точки со своими координатами А(х₁,…, х_n) и В(у₁,…, у_n). Вычислить расстояние между этими точками.

Решение: По определению АВ=

. Прежде всего, вычислим координаты вектора . Так как координаты точек А и В совпадают с координатами их радиус-векторов, то из соотношения в силу теоремы ( ) получаем: . Теперь легко вычислить длину вектора применяя формулу (2): (4)

№6.

В ПДСК задана гиперплоскость

уравнением: a₁х₁+a₂х₂+...+a_nх_n+а_о=0 и точка М_о (х₀₁,х₀₂,…,х_0n). Вычислить расстояние d от точки М_о до .

Решение: Обозначим через N_j проекцию точки М_о на

. Из теоремы *Þ a{a₁, a₂, ..., a_n} ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен . Отсюда: , поэтому:

Записав это соотношение в координатах, и учитывая, что N₀ принадлежит плоскости

, после элементарных преобразований, получили:

(5)

№7

В системе координат

даны две точки М(х_i) и N(y_i). Найти координаты вектора .

Решение: По аксиоме треугольника

. Отсюда получаем: . Векторы и являются радиус-векторами точек M и N, поэтому их координаты нам известны: . Вектор имеет координаты: (у₁-х₁, у₂-х₂, …, у_n-x_n).

№8.

Написать уравнения 2-плоскости

пространства А₄, проходящей через точку М_о(0, 1, -2, 5) и имеющей направляющее подпространство L₂, заданное системой уравнений

Решение: Уравнения:

в данном случае принимают вид:

Подставив значения координат точки М_о, после элементарных преобразований получим:

№9.

Написать параметрические уравнения прямой d, проходящей через точку

М_о(1, 3, 0, 0,

) и параллельно вектору в пространстве А₅.

Решение: Вектор

является базисом направляющего подпространства прямой a, поэтому уравнения в данном случае имеют вид:

№10.

В каждом из следующих случаев выяснить взаимное расположение двух гиперплоскостей, заданных в А₄ уравнениями:

Решение: а) В данном случае

и , поэтому гиперплоскости пересекаются по двумерной плоскости, которая задаётся уравнениями:

б) Вычислением находим, что

и , поэтому гиперплоскости параллельны.

№11.

Вычислить координаты ортогональной проекции М₁ точки М на гиперплоскость

:

1) М(1, 1, 1, -1),

:

2) М(0, -1, 2, 1),

: .

Решение: М₁ проекция точки М на гиперплоскости

. Из теоремы Þ а{a₁,a₂,a₃,a₄} ортогонален каждому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен вектору : расстояние . Записав это соотношение в координатах и учитывая, что М₁Î после элементарных преобразований, получим:

Заключение.

В течение весьма продолжительного времени и математики и физики были убеждены, что геометрия Евклида дает единственно правильное описание свойств реального пространства. Первым выступил с сообщением в печати об открытии новой – неевклидовой геометрии Н.И.Лобачевский.