Многомерные пространства понятие и виды (стр. 2 из 17)

(1), (2)

+ = +

Вычитая из обеих частей равенства вектор

= , получим

= ;

2) вектор

- нулевой вектор пространства переносов. Для любых A,B имеем: + = = , где - нулевой вектор пространства V. Так как в векторном пространстве V нулевой вектор единственный, то = A,B E;

3)

=- По аксиоме 2 + = + = т.е. векторы и пространства V противоположны один другому и, значит, =-

4)

= A=B. По аксиоме 2 + = и так как по условию = то = . Значит, - = - и по следствию 3 = . Отсюда по аксиоме 1 A=B.

Аффинная система координат.

Пусть Е n-мерное аффинное пространство над полем К, V –пространство переносов. Аффинной системой координат, или аффинным репером в пространстве Е, называется упорядоченное множество R из n+1 точек О,

, …, таких, что векторы = ( =1,2,…,n) образуют базис пространства V. Точки будут определены , если задать точку О и базис { } в V. Поэтому вместо R={O, …, } обычно пишут: R= …, }.Точку O называют началом репера R, векторы -координатными векторами.

Зададим в аффинном пространстве Е какой-либо репер R={O,

, ,… }.Для каждой точки M E определен вектор , который называется радиус – вектор точки M. Вектор разложим по векторам базиса {

= + +…+ , (3)

где

, ,…, - элементы поля К; они называются координатами точки M в репере R.

Формулу (3) можно записать короче:

= , или = . (4)

Индекс у буквы x показывает номер координаты.

Кроме выбранного репера R , в аффинном пространстве существуют и другие аффинные реперы. Возьмем еще один репер R´={O´,

…, }. Пусть - координаты точки O´ в репере R:

´= . (5)

Вектор

´= ( разложен по векторам старого базиса { }, причем определитель det матрицы C= отличен от нуля ,так как векторы ´, …, образуют базис пространства V.

Матрица С называется матрицей перехода от старого базиса {

} к новому базису { ´}.

Для произвольной точки M

Е имеем:

= ´+ . (6)