Многомерные пространства понятие и виды (стр. 5 из 17)

А)

. Обозначив =- , запишем уравнение (1) в каноническом виде:

=1 (t=1,2,…,r). (5). Квадрика называется цилиндром.

Все виды квадрик аффинно различны. Это значит, что не существует аффинного преобразования, которое переводило бы квадрику одного вида в квадрику другого вида. Квадрики, не принадлежащие одному виду, имеют различные нормальные уравнения.

Выпишем канонические уравнения квадрик в трехмерном аффинном пространстве.

а) r=3. Тогда:

1)

+ + =1 ( ) -эллипсоид;

2)

+ + =-1 ( )- мнимый эллипсоид;

3)

+ - =1 ( ) - однополостный гиперболоид (гиперболоид индекса 1);

4)

- - =1 ( ) - двуполостный гиперболоид;

5)

+ + =0 ( )- мнимый конус;

6)

+ - =0 ( ) - конус с вершиной в точке O.

б). r

. Тогда:

7)

+ =1 – эллиптический цилиндр;

8)

+ =-1 –мнимый цилиндр;

9)

- =1 гиперболический цилиндр;

10)

+ =0 пара мнимых плоскостей, пересекающихся по прямой (O, ) (мнимый конус с одномерной вершиной);

11)

- =0 пара пересекающихся плоскостей (конус индекса 1 с одномерной вершиной);

12)

=1 -пара параллельных плоскостей;

13)

=-1 пара мнимых параллельных плоскостей;

14)

=0 -пара совпавших плоскостей;

15)

+ =2 - эллиптический параболоид;

16)

- =2 -гиперболический параболоид;

17)

=2 - параболический цилиндр.

Таким образом, в аффинном пространстве

существует семнадцать различных видов квадрик.

Различные виды уравнений k-плоскостей.

Пусть

– некоторая точка пространства и – k-мерное векторное подпространство, где k<n. Совокупность всех точек пространства, удовлетворяющих условию , называется k-плоскостью, определяемой точкой и подпространства и обозначается . При k=1 называется прямой, а при – гиперплоскостью. Пространство – называется направляющим подпространством k-плоскости. Из определения следует, что точка принадлежит плоскости, так как принадлежит .

1. Геометрические задания k-плоскости.

Для задания k-плоскости необходимо иметь некоторую её точку

и подпространство . Так как подпространство однозначно определяется заданием k линейно независимых векторов , принадлежащих , то плоскость однозначно определяется заданием некоторой точки и k линейно независимых векторов.

Теорема 1: Каковы бы ни были точка

и k линейно независимых векторов , существует одна и только одна k-плоскость, содержащая точку и параллельная .

Доказательство: Рассмотрим подпространство

, натянутое на векторы . Плоскость является искомой. Докажем, что она единственная. Пусть, например, содержит точку и векторы .

Эти векторы принадлежат подпространству

и , поэтому совпадает с . С другой стороны, точка . Отсюда следует, что эта плоскость совпадает с плоскостью .