Многомерные пространства понятие и виды (стр. 6 из 17)

Теорема 2: Каковы бы ни были k+1 линейно независимых точек

, существует одна и только одна плоскость , содержащая эти точки.

Доказательство:

Рассмотрим векторы

Пусть

– подпространство, натянутое на эти векторы. Очевидно, плоскость содержит все точки . Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, содержащая эти точки должна содержать точку и векторы . Но согласно предыдущей теореме этими данными плоскость определяется однозначно.

Следствие: Каковы бы ни были n линейно независимых точек, существует одна и только одна гиперплоскость, проходящая через эти точки.

2. Аналитическое задание k-плоскости.

Из теоремы 1 следует, что плоскость

однозначно определяется заданием точки и k линейно независимых векторов , параллельных этой плоскости. Если в пространстве выбрана система координат, то точка и векторы будут иметь координаты: Пусть – произвольная точка плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит подпространству этой плоскости, т.е. Запишем это условие в координатах. Вектор имеет координаты: поэтому

(1)

Эти соотношения называются параметрическими уравнениями k-плоскости.

Их смысл заключается в следующем: если точка

принадлежит плоскости, то всегда найдутся такие параметры , что, подставив эти параметры в соотношение (1), получим координаты точки . Обратно, каковы бы ни были параметры , подставив их в соотношения (1), получаются координаты некоторой точки плоскости. Так как векторы линейно независимы, то матрица, составленная из коэффициентов при в соотношениях (1) имеет ранг k. Если определитель, составленный из коэффициентов первых k равенств, не равен нулю, т.е.

то из равенств (1) можно однозначно определить параметры

. Подставив их значения в оставшиеся соотношений, получаются , получаются независимых линейных уравнений, связывающих координаты точки . Эти соотношения могут быть записаны в следующем виде:

Точка

принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты её удовлетворяют соотношениям (3). Они называются уравнениями плоскости . Итак, каждая k-плоскость в пространстве может быть определена системой независимых линейных уравнений. В частности, гиперплоскость определяется одним уравнением:

3. Общие уравнения плоскости.

Теорема 3: Пусть

– совместная

независимых линейных уравнений. Если в пространстве выбрана система координат , то множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, есть некоторая k-плоскость.

Доказательство: Так как данная система (4) совместна и линейно независима, то матрица, составленная из коэффициентов при

, имеет ранг .Пусть определитель, составленный из коэффициентов при ,отличен от нуля. Решив данную систему относительно этих переменных, получается:

Вводя обозначения

, получаем соотношения:

(5)

Рассмотрим плоскость

, начальной точкой которой является точка , содержащую векторы , координаты которых определяются соответственно коэффициентами при в соотношениях (5). Эта плоскость согласно соотношению (1) имеет параметрические уравнения (5). Из алгебраических преобразований, следует, что координаты точек этой плоскости удовлетворяют системе (4). Соотношения (4) называются общими уравнениями k-плоскости.

Взаимное расположение k-плоскостей.

Каждая точка является нульмерной плоскостью. Это соответствует общему определению плоскости, так как в данном случае можно считать, что подпространством плоскости является нульмерное подпространство.

Пусть

и – две плоскости, имеющие хотя бы одну общую точку . Если подпространство принадлежит одновременно подпространствам и данных плоскостей, то принадлежит плоскостям и . В самом деле, пусть . Это означает, что вектор принадлежит . Так как , то , т.е. . Аналогично доказывается, что .

Пересечением двух плоскостей

и называется множество всех точек, принадлежащих одновременно плоскостям и . Если две плоскости имеют хотя бы одну общую точку , то пересечением этих плоскостей является некоторая плоскость , где ( –наименьшее из чисел k и m).