Многомерные пространства понятие и виды (стр. 8 из 17)

Если эти условия выполняются, то данные плоскости пересекаются по некоторой плоскости размерности m+k-σ.

Доказательство: Необходимость очевидна, так как, если плоскости

и пересекаются, то за точки и можно взять одну из общих точек. В этом случае поэтому .

Докажем достаточность условия. Так как

, то существуют векторы , такие, что . Возьмем точки так, чтобы Очевидно, С другой стороны, или Отсюда следует, что точки совпадают, поэтому плоскости и пересекаются. Если p-индекс параллельности плоскостей и , то по теореме 1 пересечение данных плоскостей есть p-мерная плоскость; при этом по этой же теореме 1 число p есть размерность пересечения и , поэтому p= m+k-σ.

Следствия: 1º. Если сумма подпространств

данных плоскостей и совпадают с , то плоскости пересекаются.

2º. Пусть

и точки, принадлежащие соответственно плоскостям и , а - сумма подпространств этих плоскостей. Если , то данные плоскости не пересекаются.

Доказательство: (от противного)

Допустим, что существует такая точка

, что Так как , то . Получено противоречие.

Расстояние между k-плоскостями.

Две плоскости

и называются ортогональными, если их подпространства и ортогональны. В частности, гиперплоскость называется ортогональной к прямой , если подпространство гиперплоскости ортогонально какому-либо ненулевому вектору прямой. Покажем, что - некоторая плоскость, а - произвольная точка пространства, то существует одна и только одна (n-k)- плоскость, проходящая через и ортогональная .

В самом деле, если

- подпространство плоскости , то плоскость является искомой - ортогональное дополнение подпространства . Покажем, что эта плоскость может быть использована для определения расстояния от точки до плоскости . Так как сумма подпространств плоскостей и есть векторное подпространство , то из следствия 1º, (теорема 3) следует, что и пересекаются. Но подпространства этих плоскостей ортогональны, поэтому их пересечение есть нульмерное подпространство. Используя теорему 3, получаем, что плоскости и пересекаются в одной точке . Точка называется проекцией точки на плоскость , а расстояние между точками и называется расстоянием от точки до плоскости . Это расстояние является наименьшим из всех расстояний от точки до любой точки плоскости .

Задача. В прямоугольной декартовой системе координат задана гиперплоскость

уравнением (1) и точка . Вычислить расстояние от точки до .

Решение: Обозначим через

проекцию точки на плоскость . Вектор ортогонален любому вектору гиперплоскости , поэтому он коллинеарен вектору . Отсюда вытекает, что поэтому и .

Записав это соотношение в координатах, и учитывая, что

принадлежит плоскости (1) после элементарных преобразований, получим: