Многомерные пространства понятие и виды (стр. 1 из 17)
ГОУВПО «Арзамасский государственный педагогический институт
имени А.П.Гайдара»
Кафедра алгебры, геометрии и методик их преподавания.
Дипломная работа
«Многомерные пространства»
Выполнил: студент 54 группы
физико-математического факультета
Карасёв Алексей
Научный руководитель кандидат
физико-математических наук,
доцент: Елисеев Е.М.
Арзамас 2008г.
Введение.
Глава 1. Аффинное пространство.
1.1. Аффинное n-мерное пространство.
1.2. Аффинная система координат.
1.3. Квадрики в аффинном пространстве.
1.4. Классификация квадрик в аффинном пространстве.
1.5. Различные виды уравнений k-плоскостей.
1.6. Взаимное расположение k-плоскостей.
1.7. Расстояние между k-плоскостями.
Глава 2. Евклидово пространство.
1.1. n-мерное евклидово пространство.
1.2. Расстояние между двумя точками. Угол между векторами.
1.3. Движения евклидова пространства.
1.4. Группы движений пространства
.1.5. Преобразование подобия. Группа подобий.
1.6. Квадрики в евклидовом n-пространстве.
1.7. Задачи.
Заключение.
Литература.
Введение.
Многомерная геометрия- геометрия пространств размерности, большей трёх. Термин «Многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, то есть прежде всего к евклидову пространству, а также к пространству Лобачевского, Римана, проективному, аффинному.
Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалось постепенно; первоначально - на почве геометрического представления степеней:
- «квадрат», 
- «куб», но 
и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили - «биквадрат», 
- «кубоквадрат» и т.п. (еще у Диофанта в 3в. и далее ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И.Кант (1746 г), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д´ Аламбер. Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено А.Кэли (1843г.), Г.Грассманом (1844г.) и Л.Шлефли(1852г.). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворно формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.Евклидово пространство произвольного числа измерений n
(не исключая случая бесконечно - мерного) проще всего определить как такое , в котором выделены подмножества – прямые и плоскости, имеются обычные отношения : принадлежности порядка, конгруэнтности (либо определены расстояния или движения), и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости , имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство 3-мерно, если же не выполнено, так что есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум , 4- мерно.Совершенно аналогично евклидову пространству
определяются пространство Лобачевского 
и аффинное 
. В пространстве выполняются все те же аксиомы, что в , с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в 
- все аксиомы за исключением аксиом конгруэнтности, вместе с которыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n-мерное проективное пространство 
. Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, которые инвариантны относительно этой группы. В случае – это группа подобий; для - это группа всех линейных (неоднородных) преобразований.Аффинное n-мерное пространство.
Пусть V-векторное пространство над полем K .Элементы из V будем обозначать так:
, 
,…, 
, 
,…. Множество E 
называют аффинным пространством над векторным пространством V над полем K,если задано отображение 
: E 
E 
V, удовлетворяющая двум условиям (аксиомам Вейля аффинного пространства):1. Для каждого элемента A
E отображение 
:E V по закону (B)= (A,B), 
B 
является биекцией.Каждой упорядоченной паре (A,B) элементов A,B
E отображение 
ставит в соответствие определенный вектор (A,B)= 
V. Этот вектор обозначают через 
. По аксиоме 1 для каждых A E, 
V существует и притом единственный элемент X , такой, что 
= 
2.
+ 
= 
, 
A,B,C 
E.Элементы A,B,C ,...аффинного пространства E называются точками. Векторы
,…из V называются переносами (или свободными векторами) пространства E, а векторное пространство V-пространством переносов аффинного пространства E.Отметим некоторые следствия из определения аффинного пространства:
1)
= 
= 
По аксиоме 2 + 
= 
(1)
+ 
= 
(2)