Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 11 из 32)

(5) Заключительное противоречие.

Из (3) и (4) следует, что

- элементарная абелева -группа для некоторого простого числа и поэтому . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Ввиду леммы , .

Пусть

- произвольная максимальная в подгруппа с индексом , где и . Тогда , где - силовская -подгруппа группы .

Предположим, что

не является нормальной в подгруппой. Ясно, что - максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная в подгруппа и поэтому - -максимальная в подгруппа для любого . Поскольку по условию -перестановочна с подгруппой и , то перестановочна с подгруппой и поэтому . Ясно, что - -максимальная в подгруппа. Так как и не является нормальной подгруппой в , то и поэтому - нормальная погруппа в . Следовательно, - нормальная в подгруппа. Это влечет, что . Ввиду произвольного выбора , получаем, что каждая максимальная подгруппа группы нормальна в . Значит, - нильпотентная группа и любая максимальная подгруппа в нормальна в . Предположим, что . Поскольку и разрешима, то в группе существует минимальная нормальная -подгруппа , где . Так как - максимальная в подгруппа, то . Это влечет, что . Следовательно, группа обладает главным рядом

и поэтому

. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Это влечет , что противоречие тому, что .