Пусть
- произвольная максимальная подгрупа в и - максимальная подгруппа в . Так как неабелева, то - неединичная подгруппа. Из того, что - максимальная подгруппа в , следует, что - 3-максимальная подгруппа в .Ввиду леммы (II),
- максимальная подгруппа в . Рассмотрим максимальную в подгруппу , такую что . Тогдаи
- 2-максимальная подгруппа в . По условию подгруппы и перестановочны. Если , то используя лемму (V), имеемИз того, что
получаем, что порядок делит . Поскольку , то полученное противоречие показывает, что - собственная подгруппа группы . Следовательно, нильпотентна, и поэтомуЗначит, либо
- максимальная подгруппа в , либо . В первом случае получаем, что является единственной максимальной подгруппой в . Это означает, что - циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы . Следовательно, первый случай невозможен. Итак, . Ввиду произвольного выбора получаем, что - единственная -максимальная подгруппа в группе . Из теоремы следует, что - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Так как первый случай очевидно невозможен, то - группа кватернионов порядка . Поскольку подгруппа изоморфна погруппе группы автоморфизмов , то . Полученное противоречие с выбором группы доказывает, что либо - группа Миллера-Морена, либо , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .Достаточность очевидна. Лемма доказана.
. В ненильпотентной группе каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами группы тогда и только тогда, когда группа имеет вид:
(1)
- группа Миллера-Морена;(2)
- группа Шмидта, где - группа кватернионов порядка и - группа порядка ;(3)
и ,где
- группа простого порядка , - нециклическая -группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от , цикличны;(4)
,где
- группа порядка , - группа простого порядка , отличного от ;