Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 13 из 32)

Пусть

- произвольная максимальная подгрупа в
и
- максимальная подгруппа в
. Так как
неабелева, то
- неединичная подгруппа. Из того, что
- максимальная подгруппа в
, следует, что
- 3-максимальная подгруппа в
.

Ввиду леммы (II),

- максимальная подгруппа в
. Рассмотрим максимальную в
подгруппу
, такую что
. Тогда

и

- 2-максимальная подгруппа в
. По условию подгруппы
и
перестановочны. Если
, то используя лемму (V), имеем

Из того, что

получаем, что порядок
делит
. Поскольку
, то полученное противоречие показывает, что
- собственная подгруппа группы
. Следовательно,
нильпотентна, и поэтому

Значит, либо

- максимальная подгруппа в
, либо
. В первом случае получаем, что
является единственной максимальной подгруппой в
. Это означает, что
- циклическая подгруппа, что противоречит выбору группы
. Следовательно, первый случай невозможен. Итак,
. Ввиду произвольного выбора
получаем, что
- единственная
-максимальная подгруппа в группе
. Из теоремы следует, что
- либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка
. Так как первый случай очевидно невозможен, то
- группа кватернионов порядка
. Поскольку подгруппа
изоморфна погруппе группы автоморфизмов
, то
. Полученное противоречие с выбором группы
доказывает, что либо
- группа Миллера-Морена, либо
, где
- группа кватернионов порядка
и
- группа порядка
.

Достаточность очевидна. Лемма доказана.

. В ненильпотентной группе

каждая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
тогда и только тогда, когда группа
имеет вид:

(1)

- группа Миллера-Морена;

(2)

- группа Шмидта, где
- группа кватернионов порядка
и
- группа порядка
;

(3)

и
,

где

- группа простого порядка
,
- нециклическая
-группа и все ее максимальные подгруппы, отличные от
, цикличны;

(4)

,

где

- группа порядка
,
- группа простого порядка
, отличного от
;