Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 15 из 32)

Если в группе

существует подгруппа Шмидта , индекс которой равен , то . Ввиду следствия , - группа порядка .

Пусь

. Допустим, что - циклическая подгруппа. В этом случае, группа является группой Шмидта. Полученное противоречие с выбором группы показывает, что - нециклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Если - нильпотентная подгруппа, то группа нильпотентна, противоречие. Следовательно, - группа Шмидта, и поэтому - циклическая подгруппа. Таким образом, группа относится к типу (3).

Пусть

. Тогда . Следовательно, - -максимальная подгруппа группы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Если - нильпотентная подгруппа, то , и поэтому . Полученное противоречие показывает, что - группа Шмидта. Значит, - циклическая подгруппа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как , то - единственная -максимальная подгруппа группы . Следовательно, . Факторгруппа , где - элементарная абелева подгруппа порядка и . Так как - неприводимая абелева группа автоморфизмов группы , то - циклическая группа, и поэтому подгруппа циклическая, противоречие.

Предположим теперь, что у всех подгрупп Шмидта индекс в группе

является степенью числа .

Так как в группе

существуют собственные подгруппы Шмидта, то . Пусть - подгруппа Шмидта группы . Тогда для некоторого . Понятно, что для некоторого имеет место и поэтому не теряя общности мы может полагать, что . Поскольку , то . Из того, что , следует, что .

Так как

- максимальная подгруппа группы , то по условию 2-максимальные подгруппы группы перестановочны со всеми максимальными подгруппами в . Используя следствие, мы видим, что - группа простого порядка и - циклическая подгруппа, причем все собственные подгруппы группы нормальны в . Следовательно, является максимальной подгруппой группы .

Предположим, что

. Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Из того, что , следует, что - нильпотентная максимальная подгруппа в . Значит, - нормальная подгруппа в . Поскольку нормальна в , то - нормальная подгруппа группы . Так как , то в группе существует 2-максимальная подгруппа такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа в , и следовательно, - -максимальная подгруппа в . Поскольку по условию перестановочна с , то