Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 16 из 32)

что приводит к противоречию с максимальностью подгруппы

. Следовательно,
.

Предположим теперь, что

. Допустим, что
. Пусть
- произвольная максимальная подгруппа группы
и
- произвольная
-максимальная подгруппа группы
. Рассуждая как выше видим, что
- нормальная подгруппа в группе
и поэтому
- подгруппа группы
. Используя приведенные выше рассуждения видим, что
. Полученное противоречие с максимальностью подгруппы
показывает, что
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
, такая что
. Так как
, то
- абелева и поэтому
. Следовательно,
. Так как
, то
. Из того, что

получаем, что

, и поэтому
- нормальная подгруппа в группе
.

Предположим, что в группе

существует подгруппа
порядка
, отличная от
. Из того, что порядок
следует, что
- максимальная подгруппа группы
. Отсюда следует, что
-
-максимальная подгруппа группы
. Так как по условию подгруппы
и
перестановочны, то мы имеем

Следовательно,

- подгруппа группы
, и поэтому

Это противоречие показывает, что в группе

существует единственная подгруппа порядка
. Ввиду теоремы , группа
является либо группой кватернионов порядка
, либо является циклической группой порядка
. В первом случае, подгруппа
порядка
группы
содержится в центре
группы
, и поэтому подгруппа
не является группой Шмидта, противоречие. Следовательно, мы имеем второй случай. Значит,
- циклическая подгруппа порядка
. Понятно, что
. Если
, то подгруппа
нормальна в группе
, и поэтому
. Полученное противоречие показывает, что
. Таким образом,
- группа типа (6). Пусть теперь
. Если порядок
, то
, и поэтому
- группа типа (4). Предположим, что порядок
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
и
- максимальная подгруппа группы
. Из того, что
, следует, что
- неединичная подгруппа. Так как подгруппа
нильпотентна, то
. Но как мы уже знаем,
- циклическая подгруппа и поэтому
. Следовательно,
. Пусть
- произвольная подгруппа порядка
группы
. Ясно, что
-
-максимальная подгруппа группы
и
-
-максимальная подгруппа группы
. Значит, по условию подгруппы
и
перестановочны. Так как
- абелева подгруппа, то
- нормальная подгруппа в группе
. Заметим, что поскольку
, то