Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 19 из 32)
Значит,
- единственная нильпотентная максимальная подгруппа, индекс которой равен 
.Пусть
- произвольная максимальная подгруппа в 
и 
- максимальная подгруппа в . Пусть 
- произвольная максимальная подгруппа в , 
- максимальная подгруппа в 
, 
- максимальная подгруппа в 
.1. Если
и - нильпотентные подгруппы группы 
индекса 
, то 
. Так как 
- максимальная подгруппа группы 
, то - нормальная подгруппа в 
, и следовательно, перестановочна с 
.2. Предположим, что
является ненильпотентной подгруппой. Так как 
, то 
. Из того, что 
, следует, что 
- циклическая подгруппа. Так как 
, то 
- максимальная подгруппа группы 
, и поэтому - нормальная подгруппа в группе 
. Из того, что 
, следует, что 
. Следовательно, 
- нильпотентная максимальная подгруппа группы 
, индекс которой равен 
. Если 
- максимальная подгруппа группы такая, что 
, то 
- -подгруппа, и поэтому - нильпотентная подгруппа. Пусть 
- произвольная максимльная подгруппа группы , индекс которой 
равен 
. Так как 
, то 
. Следовательно, для некоторого 
мы имеем 
. Без ограничения общности можно полагать, что 
. Так как 
- максимальная подгруппа циклической группы , то 
, и поэтому - нильпотентная максимальная подгруппа. Следовательно, - группа Шмидта. Значит, 
и поэтому 
, где 
- циклическая 
-подгруппа.Если
, то 
. Так как 
- подгруппа циклической группы 
, то 
. Из того, что 
- максимальная подгруппа группы 
, следует, что 
- нормальная подгруппа в 
. Отсюда следует, что 
- нормальная подгруппа в группе и поэтому 
. Это означает, что подгруппа 
перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы 
.Если
, то 
- подгруппа циклической группы 
и поэтому 
- нормальная подгруппа в 
. Так как группа 
нильпотентна, то 
- нормальная подгруппа в 
. Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в 
и поэтому перестановочна со всеми 2-максимальными подгруппами группы 
.3. Предположим теперь, что
- нильпотентная группа, такая что 
, и 
не является нильпотентнай подгруппой. Тогда 
. Рассуждая как выше видим, что 
- группа Шмидта. Так как 
, то 
имеет вид