Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 2 из 32)

- индекс подгруппы в группе ;

;

- централизатор подгруппы в группе ;

- нормализатор подгруппы в группе ;

- центр группы ;

- циклическая группа порядка ;

- ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .

Если

и - подгруппы группы , то:

- прямое произведение подгрупп и ;

- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

- и изоморфны.

Группа

называется:

примарной, если

;

бипримарной, если

.

Скобки

применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .

, где .

Группу

называют:

-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;

-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;

-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;

-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа

группы такая, что нильпотентна.

разрешимой, если существует номер

такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта - это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе

группы называется такая подгруппа из , что .

Минимальная нормальная подгруппа группы

- неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы

- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

- цоколь группы .

Экспонента группы

- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь - это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп - это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп

называется:

субнормальным, если

для любого ;

нормальным, если

для любого ;

главным, если

является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

- класс всех групп;

- класс всех абелевых групп;

- класс всех нильпотентных групп;

- класс всех разрешимых групп;

- класс всех -групп;