Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 20 из 32)

,

где

- циклическая
-группа.

Если

, то
. Но
- подгруппа циклической группы
и поэтому
. Из того, что
- максимальная подгруппа группы
, следует, что
- нормальная подгруппа в
. Отсюда следует, что
- нормальная подгруппа в группе
и поэтому мы имеем
, что влечет перестановочность подгруппы
со всеми
-максимальными подгруппами группы
, в частности с
.

Если

, то подгруппа
содержится в некоторой силовской
-подгруппе
группы
. Так как
- максимальная подгруппа группы
, то
и поэтому
. Следовательно,
- максимальная подгруппа группы
. Значит,
- нормальная подгруппа в
. Так как
- нильпотентная группа, такая что
, то
. Ясно, что
- нормальная подгруппа группы
. Если
, то
имеет вид
. Так как
, то имеет место
и поэтому

.

Это означает, что подгруппы

и
перестановочны. Если
, то
и поэтому
. Следовательно, подгруппы
и
перестановочны.

4. Если

, то подгруппа
является максимальной подгруппой группы
индекса
и
- 2-максимальная подгруппа в
. Но подгруппы такого вида уже изучены.

5. Если

, то подгруппа
является максимальной подгруппой группы
с индексом
и
- максимальная подгруппа группы
. Но как мы уже знаем, максимальные подгруппы
группы
перестановочны со всеми
-максимальными подгруппами группы
.

Это означает, что в любом случае

перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
.

Легко видеть, что в группе

типа (4) каждая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
.

Пусть

- группа типа (5). Легко видеть, что в группе
все
-максимальные подгруппы группы
нормальны в группе
. Таким образом, каждая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
.

Пусть

- группа типа (6). Пусть
- максимальная подгруппа группы
. Понятно, что либо
, либо
, где
. Отсюда следует, что
- единственная неединичная
-максимальная подгруппа группы
. Так как
, то
- нормальная подгруппа в группе
, и поэтому подгруппа
перестановочна со всеми
-максимальнаыми подгруппами группы
.