Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 21 из 32)

Пусть

- группа типа (7). Тогда
, где
- подгруппа группы
простого порядка
,
- подгруппа группы
простого порядка
и
- циклическая
-подгруппа группы
, которая не является нормальной подгруппой в группе
, но максимальная подгруппа группы
нормальна в
. Покажем, что в группе
любая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
. Предположим, что данное утверждение не верно, и пусть
- контрпример минимального порядка.

Предположим, что

. Пусть
-
-максимальная подгруппа группы
. Понятно, что
- нормальная подгруппа группы
. Следовательно,
перестановочна с любой
-максимальной подгруппой группы
. Полученное противоречие с выбором группы
показывает, что
.

Пусть

- подгруппа группы
с индексом
. Так как
, то
- неединичная подгруппа группы
. Ясно, что
- нормальная подгруппа группы
. Факторгруппа
имеет вид
, где
- силовская подгруппа порядка
,
- силовская подгруппа порядка
,
- циклическая силовская
-подгруппа, которая не является нормальной подгруппой в
, но максимальная подгруппа
группы
нормальна в группе
. Поскольку
, то
и поэтому по выбору группы
мы заключаем, что любая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
. Пусть
- произвольная
-максимальная подгруппа группы
и
-
-максимальная подгруппа группы
. Понятно, что
и
. Отсюда следует, что
-
-максимальная подгруппа группы
и
-
-максимальная подгруппа группы
, и поэтому

Следовательно, подгруппы

и
перестановочны. Полученное противоречие с выбором группы
заканчивает доказательство теоремы.

Если в группе

любая ее
-максимальная подгруппа перестановочна со всеми
-максимальными подгруппами группы
и
, то
- нильпотентная группа.

Классы групп типов (1) -(7), очевидно, попарно не пересекаются. Покажем, что все это классы не пусты. Но фактически мы должны установить это лишь для классов (2), (3), (5) - (7).

Хорошо известно, что в группе автоморфизмов

группы кватернионов
имеется элемент
порядка
. Пусть
. Тогда
принадлежит типу (2). Действительно, пусть
- единственная подгруппа порядка 2 группы
. Тогда
и поэтому
. Понятно, что
- главный фактор группы
и кроме того,
. Таким образом,
- максимальная подгруппа группы
и все максимальные в
подгруппы, индекс которых делится на 2, сопряжены с
. Следовательно,
- группа Шмидта.