Пусть
и
- группа порядка 7. Ввиду леммы , - абелева группа порядка 9. Поскольку изоморфна некоторой подгруппе порядка 3 из группы автоморфизмов , то - группа операторов для с . Пусть . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы и не является нормальной подгруппой группы . Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы , отличные от , цикличны и не являются нормальными подгруппами группы и поэтому - группа типа (3).Пусть теперь
и - такие простые числа, что делит . Тогда если - группа порядка , то в группе ее автоморфизмов имеется подгруппа порядка . Пусть , где - группа порядка . Тогда - группа операторов для с и поэтому группа принадлежит типу (3).Пусть снова
и - группы, введенные в примере, и , где Пусть - канонический эпиморфизм группы на факторгруппу . Пусть - прямое произведение групп и с объединенной факторгруппой (см. лемму ). Пусть - силовская -подгруппа группы . Тогда , где и поэтому , гдеПокажем, что
. Поскольку и , то . Следовательно, и поэтому . Значит, . Так как и , то и поэтому . Пусть - неединичная подгруппа из . Ясно, что . Пусть . Мы имеемЗначит,
и поэтому . Следовательно, - нормальная погруппа в . Таким образом, группа принадлежит типу (5).Пусть
- циклическая группа порядка , где - простое нечетное число. Согласно лемме , . Пусть теперь - произвольный простой делитель числа и - группа порядка в . Обозначим символом полупрямое произведение . Пусть - подгруппа порядка группы . Тогда и поэтому если , то согласно лемме , , что противоречит определению группы . Следовательно, , что влечет . Значит, группа принадлежит типу(6).