Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 22 из 32)

Пусть

и

- группа порядка 7. Ввиду леммы ,
- абелева группа порядка 9. Поскольку
изоморфна некоторой подгруппе
порядка 3 из группы автоморфизмов
, то
- группа операторов для
с
. Пусть
. Ясно, что
-
-максимальная подгруппа группы
и
не является нормальной подгруппой группы
. Легко проверить, что все максимальные подгруппы группы
, отличные от
, цикличны и не являются нормальными подгруппами группы
и поэтому
- группа типа (3).

Пусть теперь

и
- такие простые числа, что
делит
. Тогда если
- группа порядка
, то в группе ее автоморфизмов
имеется подгруппа
порядка
. Пусть
, где
- группа порядка
. Тогда
- группа операторов для
с
и поэтому группа
принадлежит типу (3).

Пусть снова

и
- группы, введенные в примере,
и
, где
Пусть
- канонический эпиморфизм группы
на факторгруппу
. Пусть
- прямое произведение групп
и
с объединенной факторгруппой
(см. лемму ). Пусть
- силовская
-подгруппа группы
. Тогда
, где
и поэтому

, где

Покажем, что

. Поскольку
и
, то
. Следовательно,
и поэтому
. Значит,
. Так как
и
, то
и поэтому
. Пусть
- неединичная подгруппа из
. Ясно, что
. Пусть
. Мы имеем

Значит,

и поэтому
. Следовательно,
- нормальная погруппа в
. Таким образом, группа
принадлежит типу (5).

Пусть

- циклическая группа порядка
, где
- простое нечетное число. Согласно лемме ,
. Пусть теперь
- произвольный простой делитель числа
и
- группа порядка
в
. Обозначим символом
полупрямое произведение
. Пусть
- подгруппа порядка
группы
. Тогда
и поэтому если
, то согласно лемме ,
, что противоречит определению группы
. Следовательно,
, что влечет
. Значит, группа
принадлежит типу(6).