Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 23 из 32)

Покажем, наконец, что класс групп (7) не пуст. Пусть

и - группы нечетных простых порядков и соответственно ( ). Тогда

и поэтому найдется такой простой делитель

числа , который одновременно отличен от и . Пусть , где - группа порядка в . Тогда группа принадлежит типу (7).

4. Группы, в которых максимальные подгруппы перестановочны с

-максимальными подгруппами

В данном разделе дано описание групп, у которых каждая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми ее

-максимальными подгруппами.

Для доказательства основного результата данного раздела нам понадобятся следующие леммы.

Класс

всех таких абелевых групп

,что

не содержит кубов, является формацией.

Доказательство.

Пусть

. И пусть - произвольная нормальная подгруппа группы . Тогда абелева. Так как по определению экспоненты делит и поскольку не содержит кубов, то не содержит кубов. Следовательно, .

Пусть

и . Покажем, что

.

Пусть

. Тогда , где и . Так как , то по определению экспоненты . Из того, что и не содержат кубов, следует, что не содержит кубов. Поскольку группа изоморфна подгруппе из , то делит , и поэтому не содержит кубов. Так как группа абелева, то . Следовательно, - формация. Лемма доказана.

[4.1]. Пусть

, где

- формация, описанная в лемме. Если каждая максимальная подгруппа группы

перестановочна с любой

-максимальной подгруппой группы

, то

.

Доказательство. Предположим, что лемма не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы

группы

, факторгруппа

.

Пусть

- максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Тогда - максимальная подгруппа группы и - -максимальная подгруппа группы . Из того, что по условию подгруппы и перестановочны, мы имеем

Поскольку

, то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что .

(2)

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

для некоторого простого

, и

где

- максимальная подгруппа группы

с

.

Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы . Ввиду леммы, - разрешимая группа, и поэтому - элементарная абелева -группа для некоторого простого . Так как - насыщенная формация , то ввиду (1), - единственная минимальная нормальная подгруппа группы и . Пусть - максимальная подгруппа группы , не содержащая и . По тождеству Дедекинда, мы имеем . Из того, что абелева, следует, что и поэтому . Это показывает, что , .