Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 24 из 32)

(3) Заключительное противоречие.

Ввиду (2), для некоторой максимальной подгруппы

группы имеем . Так как , то . Пусть - -максимальная подгруппа группы . Тогда по условию, для каждого . По лемме , и поэтому . Следовательно, . Это означает, что каждая -максимальная подгруппа группы единичная, и следовательно, - простое число для всех максимальных подгруппы группы . Так как для некоторого простого , то - максимальная подгруппа группы . Это означает, что - -максимальная подгруппа группы .

Предположим, что

. Тогда в имеется неединичная максимальная подгруппа . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы , и поэтому перестановочна с . Следовательно, , но . Полученное противоречие показывает, что .

Поскольку ввиду (1),

, то - нильпотентная подгруппа.

Из того, что

- неединичная нормальная подгруппа в группе , следует, что .

Так как факторгруппа

изоморфна подгруппе группы автоморфизмов и группа автоморфизмов группы простого порядка является циклической группой порядка , то абелева. Из того, что и не содержит кубов, следует, что не содержит кубов. Это означает, что . Следовательно, , и поэтому - нильпотентная подгруппа. Таким образом, . Полученное противоречие с выбором группы доказывает лемму.

[4.1]. В примитивной группе

каждая максимальная подгруппа группы

перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

тогда и только тогда, когда группа

имеет вид:

(1)

,

где

- группа порядка и - группа порядка , где ;

(2)

,

где

- минимальная нормальная подгруппа в порядка и - группа порядка , где ;

(3)

,

где

- группа порядка и - группа порядка , где .

(4)

,

где

- группа порядка и - группа порядка , где - различные простые делители порядка группы .