Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 27 из 32)

Пусть

- произвольная максимальная подгруппа группы
, отличная от
. Рассуждая как выше видим, что
- примарная циклическая группа. Значит,
.

Предположим, что

-
-группа. Тогда
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
.

Допустим, что

. Ясно, что
-
-максимальная подгруппа группы
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
такая, что
. Тогда
-
-максимальная подгруппа группы
, и следовательно,
- подгруппа группы
, что влечет

Полученное противоречие показывает, что

и поэтому
. Значит,
, где
- минимальная нормальная подгруппа группы
порядка
и
. Следовательно,
.

Пусть теперь

и
. Пусть
- силовская
-подгруппа в
и
- максимальная подгруппа группы
, которая содержит
. Тогда
.

Так как

- циклическая силовская
-подгруппа группы
, то
-
-сверхразрешимая группа.

Предположим, что

. Пусть
- силовская
-подгруппа группы
и пусть
- максимальная подгруппа группы
. Тогда
. Допустим, что
. Тогда ввиду леммы ,
- сверхразрешимая группа,
и поэтому
- нормальная подгруппа в группе
. Пусть
- силовская
-подгруппа группы
. Так как
- нормальная максимальная подгруппа в группе
, то
. Поскольку
сверхразрешима, то
, и поэтому
- нормальная подгруппа в группе
. Из того, что
- циклическая группа, следует, что
. Значит,
- нормальная подгруппа в группе
. Предположим, что
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
, такая что
. Ясно, что
-
-максимальная подгруппа группы
. Поскольку по условию подгруппы
и
перестановочны, то

противоречие. Следовательно,

. Пусть теперь
- произвольная максимальная подгруппа группы
. Поскольку
-
-максимальлная подгруппа группы
, то

Полученное противоречие показывает, что

. Значит,
и
. Так как
- максимальная подгруппа группы
, то
- минимальная нормальная подгруппа в группе
. Из того, что
- силовская
-подгруппа группы
, следует, что
. Ясно, что
. Следовательно,
, и поэтому
- нормальная подгруппа в группе
. Допустим, что
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
, такая что
. Рассуждая как выше видим, что