Пусть
- произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая группа. Значит, .Предположим, что
- -группа. Тогда . Пусть - максимальная подгруппа группы .Допустим, что
. Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и следовательно, - подгруппа группы , что влечетПолученное противоречие показывает, что
и поэтому . Значит, , где - минимальная нормальная подгруппа группы порядка и . Следовательно, .Пусть теперь
и . Пусть - силовская -подгруппа в и - максимальная подгруппа группы , которая содержит . Тогда .Так как
- циклическая силовская -подгруппа группы , то - -сверхразрешимая группа.Предположим, что
. Пусть - силовская -подгруппа группы и пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда . Допустим, что . Тогда ввиду леммы , - сверхразрешимая группа, и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Пусть - силовская -подгруппа группы . Так как - нормальная максимальная подгруппа в группе , то . Поскольку сверхразрешима, то , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Из того, что - циклическая группа, следует, что . Значит, - нормальная подгруппа в группе . Предположим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку по условию подгруппы и перестановочны, топротиворечие. Следовательно,
. Пусть теперь - произвольная максимальная подгруппа группы . Поскольку - -максимальлная подгруппа группы , тоПолученное противоречие показывает, что
. Значит, и . Так как - максимальная подгруппа группы , то - минимальная нормальная подгруппа в группе . Из того, что - силовская -подгруппа группы , следует, что . Ясно, что . Следовательно, , и поэтому - нормальная подгруппа в группе . Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Рассуждая как выше видим, что