Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 28 из 32)

противоречие. С другой стороны, если

, то как и выше получаем, что

что невозможно. Следовательно,

.

Предположим теперь, что

. Допустим, что . Пусть - максимальная подгруппа группы , такая что . Поскольку - максимальная подгруппа группы и , то - -максимальная подгруппа группы . По условию - подгруппа группы . Следовательно, , противоречие. Используя приведенные выше рассуждения можно показать, что при этот случай также невозможен.

Полученное противоречие показывает, что

. Пусть . Тогда , и поэтому - нормальная силовская -подгруппа в группе . Значит, , где . Пусть - максимальная подгруппа группы такая, что - максимальная подгруппа в . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку , то и поэтому . Значит, - единственная максимальная подгруппа группы . Следовательно, - циклическая группа. Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Так как

,

то

. С другой стороны, и поэтому - максимальная подгруппа группы . Пусть - максимальная подгруппа группы , отличная от . Ясно, что - -максимальная подгруппа группы . Поскольку подгруппы и перестановочны и , то и поэтому . Следовательно, - единственная -максимальная подгруппа группы . Значит, согласно теореме , - либо циклическая группа, либо группа кватернионов порядка . Пусть имеет место первый случай. Тогда . Это означает, что - нормальная подгруппа в , и поэтому Полученное противоречие показывает, что первый случай невозможен. Следовательно, , где - группа кватернионов порядка и - группа порядка .

Пусть теперь

. Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы , и, следовательно, - подгруппа группы . Но поскольку , то этот случай невозможен.

2. Для любой максимальной и не нормальной в

подгруппы имеет место , где и - различые простые числа. Более того, мы теперь уже можем предполагать, что индекс любой максимальной в подгруппы есть простое число. Это означает, что группа сверхразрешима, что в свою очередь влечет сверхразрешимость подгруппы . Пусть - произвольная максимальная подгруппа группы , отличная от . Рассуждая как выше видим, что - примарная циклическая подгруппа и поэтому для некоторых и . Следовательно, . Пусть - силовская -подгруппа группы , пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в и пусть - силовская -подгруппа группы , которая содержится в . Если - нормальная подгруппа группы , то . Полученное противоречие показывает, что не является нормальной подгруппой группы .