Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 29 из 32)

Допустим, что

. Тогда
- силовская
-подгруппа группы
и
. Из сверхразрешимости группы
следует, что
- нормальная подгруппа группы
. Значит,
, где
- группа простого порядка
. Ясно, что
и поэтому
. Поскольку все максимальные подгруппы группы
, отличные от
, цикличны, то
- группа типа (3).

Пусть

. Тогда
и
- нормальная подгруппа группы
. Значит,
. Так как
- максимальная подгруппа группы
, то
- циклическая подгруппа и
. Если
, то
. Если
, то
- группа типа (1).

Пусть теперь,

- различные простые числа. Тогда
и
. Если
- нормальная подгруппа группы
, то
и поэтому
- группа типа (1). Пусть
не является нормальной подгруппой группы
. Тогда
- наибольший простой делитель порядка группы
и поэтому
- нормальная подгруппа группы
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
, такая что
и
. Допустим, что
- нормальная подгруппа группы
. Значит, в ней существует нормальная силовская подгруппа. Если
, то
и поэтому
- нормальная подгруппа группы
. Полученное противоречие показывает, что для некоторого
,
- нормальная подгруппа группы
. Следовательно,
- нормальная подгруппа группы
, противоречие. Значит,
не является нормальной подгруппой в группе
. Рассуждая как выше видим, что у
все максимальные подгруппы отличные от
примарны и цикличны и
. Значит,
- группа типа (1).

Достаточность. Если

и
, то очевидно, что любая
-максимальная погруппа группы
перестановочна с ее максимальными подгруппами.

Пусть

- группа Шмидта, где
- группа кватернионов порядка
и
- группа порядка
. Ясно, что в группе
-максимальные подгруппы перестановочны со всеми максимальными подгруппами.