Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 30 из 32)
Предположим теперь, что
- группа типа (1)-(3). Пусть 
- произвольная максимальная подгруппа группы и 
- 
-максимальная подгруппа группы . Докажем, что подгруппы 
и перестановочны.Пусть
- группа типа (1). Пусть 
.1. Пусть
, где 
- простое число, отличное от 
. Пусть 
- силовская -подгруппа группы , которая содержится в 
. Тогда 
.Допустим, что
. Поскольку группа сверхразрешима, то индекс 
максимальной подгруппы является простым числом.Пусть
. Тогда 
. Значит, 
. Поскольку 
,то
- максимальная в 
подгруппа. Если 
, то 
- примарная циклическая группа. Так как делит 
, то 
, 
и поэтому для некоторого 
, 
. Полученное противоречие показывает, что 
. Это означает, что 
- нормальная подгруппа в .Допустим, что
. Пусть 
. Тогда 
- нормальная подгруппа в . Поскольку в любая максимальная подгруппа индекса совпадает с 
, то 
- нормальная подгруппа в и поэтому 
перестановочна с 
.Пусть теперь
. Пусть 
- силовская -подгруппа и 
- силовская 
-подгруппа в соответственно. Пусть 
. Тогда 
и поэтому для некоторого 
, 
. Из того, что 
, следует, что 
- максимальная подгруппа группы 
. С другой стороны, 
- максимальная подгруппа циклической группы 
. Значит, 
. Отсюда следует, что 
и поэтому 
- нормальная подруппа в . Следовательно, 
перестановочна с . Пусть 
. Тогда для некоторого , 
. Рассуждая как выше видим, что 
. Значит, - нормальная подгруппа в 
. Поскольку 
,то
. Это означает, что подгруппы и 
перестановочны. Пусть 
. Используя приведенные выше рассуждения видим, что - нормальная подгруппа в . Поскольку 
, то 
- нормальная подгруппа в 
. Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть 
. Рассуждая как выше видим, что - нормальная подгруппа в и 
. Значит, 
. Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть теперь 
. Поскольку 
, то 
- нормальная подгруппа в 
. Пусть 
. Тогда 
, где . Пусть - силовская -подгруппа группы . Пусть 
. Тогда - -группа и для некоторого 
, 
. Без ограничения общности можно предположить, что 
. Поскольку 
, то 
. Значит, 
. Следовательно, подгруппы и перестановочны. Пусть 
. Тогда 
. Следовательно, и поэтому подгруппа 
перестановочна с . Пусть 
. Тогда 
. Ясно, что 
. Следовательно, 
. Это означает, что подгруппы и перестановочны. Пусть 
. Тогда 
. Поскольку 
, то