Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 31 из 32)

и поэтому подгруппы

и
перестановочны.

Если

, то рассуждая подобным образом, получаем, что
перестановочна с
.

Допустим, что

. Так как в
все максимальные подгруппы, отличные от
, примарные и циклические, то
- максимальная подгруппа в
. Следовательно,
. Это означает, что в группе
существует единственная
-максимальная подгруппа
и она единична. Таким образом,
перестановочна с
.

2. Пусть теперь

.

Пусть

. Тогда
- нормальная подгруппа в
и поэтому
перестановочна с
. Пусть
. Тогда
. Поскольку для некоторого
,
, то без ограничения общности можно предположить, что
. Значит,
. Если
, то
и поэтому

Допустим, что

. Тогда
-
-группа. Поскольку для некоторого
,
и
, то
и поэтому
. Пусть теперь
. Пусть
- силовская
-подгруппа и
- силовская
-подгруппа в
соответственно. Тогда
. Ясно, что
для некоторого
и
. Следовательно,
и поэтому
. Если
, то

Если

, то

В любом случае,

-максимальная подгруппа
перестановочна с максимальной подгруппой
.

Пусть

- группа типа (2) или (3). Если
, то
. Поскольку
, то
-
-максимальная подгруппа группы
. Если
, то
содержится в некоторой максимальной циклической подгруппе
группы
. Так как
, то
- нормальная подгруппа в
. Отсюда следует, что