Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 32 из 32)
Значит,
перестановочна с 
. Пусть 
. Если 
, то 
для некоторого 
. Поскольку 
то 
и поэтому
перестановочна с . Если 
, то 
. Из того, что 
, следует, что 
. Значит, перестановочна с 
.Пусть теперь
. Тогда - 
-группа и, следовательно, для некоторого 
, 
. Без ограничения общности можно предположить, что 
. Ясно, что 
- 
-максимальная подгруппа группы 
. Пусть 
- максимальная подгруппа группы , содержащая . Допустим, что 
. Если 
, то 
. Предположим, что 
. Тогда 
- циклическая группа. Поскольку 
, то 
- максимальная подгруппа группы . Из того, что - циклическая подгруппа следует, что 
. Значит, 
. Поскольку 
, то - нормальная подгруппа в . Отсюда следует, что - нормальная подгруппа в 
. Значит, перестановочна с .Пусть
. Поскольку - циклическая группа, то 
- нормальная подгруппа в 
. Следовательно, перестановочна с 
. Теорема доказана. Если в группе любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми 
-максимальными подгруппами группы и 
, то - нильпотентная группа.
Легко видеть, что классы групп теоремы попарно не пересекаются. Отметим, что, как и в случае теоремы, можно построить примеры групп типов (1) - (3).
В данной работе дано описание групп, у которых максимальные подгруппы перестановочны с
-максимальными подгруппами групп; описание ненильпотентных групп, у которых каждая -максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами; описание ненильпотентных групп, у которых каждая максимальная подгруппа перестановочна со всеми -максимальными подгруппами. Доказана 
-разрешимость и найдены оценки -длины групп, у которых каждая 
-максимальная подгруппа 
-перестановочна со всеми 
-максимальными подгруппами, где 
.1.Боровиков М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. - Минск: Университетское, 1990. - С. 80-82.
2.Боровиков М.Т. О
-разрешимости конечной группы // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. - Минск: Наука и техника, 1986. - С. 3-7.3.Белоногов В.А. Конечные разрешимые группы с нильпотентными
-максимальными подгруппами // Матем. заметки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 21-32.4.Беркович Я.Г. Конечные группы с дисперсивными вторыми максимальными подгруппами // Докл. АН СССР. - 1964. - Т. 158, № 5. - С. 1007-1009.
5.Беркович Я.Г. Конечные группы, у которых все
-е максимальные подгруппы являются обобщенными группами Шмидта // Мат. заметки. - 1969. - Т. 5, № 1. - С. 129-136.6.Беркович Я.Г. Конечные неразрешимые группы с абелевыми третьими максимальными подгруппами // Изв. высш. учебн. заведений. Математика. - 1969. - № 7. - С. 10-15.
7.Беркович Я.Г., Пальчик Э.М. О перестановочности подгрупп конечной группы // Сиб. мат. журн. - 1967. - Т. 8, № 4. - С. 741-753.
8.Веньбинь Го, Шам К.П., Скиба А.Н.,
-накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп // Сиб. мат. журнал. - 2004. - Т. 45, № 3. - С. 75-92.9.Голубева О.В., Пальчик Э.М. К теореме Виланда // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. - 2001. - № 3. - С. 135-136.
10.Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Выпуск 12. - 1998. С. 113-122.
11.Пальчик Э.М. О
-квазинормальных подгруппах // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 11. - С. 967-969.12.Пальчик Э.М. О группах, все
-максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. - 1968. - № 1. - С. 45-48.13.Пальчик Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами // Докл. АН БССР. - 1967. - Т. 11, № 5. - С. 391-392.