Оказалось, что группы, у которых все
-максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все -максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их -максимальные подгруппы сверхразрешимы.В последние годы получен ряд новых интересных результатов о
-максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке -максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа группы обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора группы выполняется одно из двух условий или . В работе доказано, что группа разрешима тогда и только тогда, когда в имеется такая -максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от -максимальных подгрупп их силовских подгрупп.Пусть
и - подгруппы группы . Тогда подгруппа называется -перестановочной с , если в найдется такой элемент , что . В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия -перестановочности для -максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой -максимальной подгруппы группы , имеющей непримарный индекс, в найдется такая нильпотентная подгруппа , что и -перестановочна со всеми подгруппами из .Пусть
- набор всех -максимальных подгрупп группы .Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из
, существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа разрешима, если любая подгруппа из перестановочна со всеми подгруппами из для всех , где . В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.
[2.1]. Пусть - группа, - ее подгруппа Фиттинга. Если любая -максимальная подгруппа группы -перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы , то группа метанильпотентна.
Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть
- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа метанильпотентна.
Рассмотрим факторгруппу
. Пусть - произвольная максимальная в подгруппа и - произвольная -максимальная подгруппа. Тогда максимальна в и -максимальна в , а значит, по условию подгруппа -перестановочна с подгруппой . Но тогда, согласно лемме , подгруппа -перестановочна с подгруппой . Итак, условие теоремы выполняется в . Но и поэтому согласно выбора группы , мы имеем (1).(2) - разрешимая группа.
Если в группе
существует единичная -максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе все -максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы группы , . Пусть - максимальная подгруппа группы . Тогда по условию для каждого , мы имеем . Ввиду леммы , и, следовательно, . Значит, . Поскольку , то и поэтому по выбору группы мы заключаем, что - разрешимая группа. Это означает, что разрешима, и следовательно, - разрешимая группа.