Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 5 из 32)

Оказалось, что группы, у которых все

-максимальные подгруппы нильпотентны, не обязательно разрешимы и полное описание групп с таким свойством в неразрешимом случае было получено Янком, а в разрешимом случае В.А. Белоноговым. Группы, у которых все
-максимальные подгруппы абелевы, были описаны Я.Г. Берковичем в работе. Эти результаты получили развитие в работе В.Н. Семенчука, который дал полное описание разрешимых групп, у которых все их
-максимальные подгруппы сверхразрешимы.

В последние годы получен ряд новых интересных результатов о

-максимальных подгруппах, связанных с изучением их способа вложения в основную группу. В этой связи, прежде всего , в которых на языке
-максимальных подгрупп получены описания ряда важных классов групп. Напомним, что подгруппа
группы
обладает свойством покрытия-изолирования, если для любого главного фактора
группы
выполняется одно из двух условий
или
. В работе доказано, что группа
разрешима тогда и только тогда, когда в
имеется такая
-максимальная разрешимая подгруппа, которая обладает свойством покрытия-изолирования. Отметим также, что в работе, а также в работе изучалось строение групп, в зависимоси от
-максимальных подгрупп их силовских подгрупп.

Пусть

и
- подгруппы группы
. Тогда подгруппа
называется
-перестановочной с
, если в
найдется такой элемент
, что
. В работе найдены новые описания нильпотентных и сверхразрешимых групп на основе условия
-перестановочности для
-максимальных подгрупп. В частности, доказано, что: Группа
нильпотентна тогда и только тогда, когда для любой
-максимальной подгруппы
группы
, имеющей непримарный индекс, в
найдется такая нильпотентная подгруппа
, что
и
-перестановочна со всеми подгруппами из
.

Пусть

- набор всех
-максимальных подгрупп группы
.

Как показывают упомянутые выше результаты работ, условия перестановочности, накладываемые на подгруппы из

, существенно определяют строение основной группы. В работе Л.Я. Полякова было доказано, что группа
разрешима, если любая подгруппа из
перестановочна со всеми подгруппами из
для всех
, где
. В связи с этим результатом естественно возникает вопрос о полном описании групп с таким свойством. Решению данной задачи и посвящена настоящая глава.

2. Группы с
-перестановочными
-максимальными подгруппами

Отмеченные выше результаты работы допускают следующие уточнения.

[2.1]. Пусть

- группа,
- ее подгруппа Фиттинга. Если любая
-максимальная подгруппа группы
-перестановочна со всеми максимальными подгруппами группы
, то группа
метанильпотентна.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в

подгруппы
факторгруппа
метанильпотентна.

Рассмотрим факторгруппу

. Пусть
- произвольная максимальная в
подгруппа и
- произвольная
-максимальная
подгруппа. Тогда
максимальна в
и
-максимальна в
, а значит, по условию подгруппа
-перестановочна с подгруппой
. Но тогда, согласно лемме , подгруппа
-перестановочна с подгруппой
. Итак, условие теоремы выполняется в
. Но
и поэтому согласно выбора группы
, мы имеем (1).

(2)

- разрешимая группа.

Если в группе

существует единичная
-максимальная подгруппа, то теорема очевидно справедлива. Предположим, что в группе
все
-максимальные подгруппы отличны от единицы. Докажем, что для каждой максимальной подгруппы
группы
,
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
. Тогда по условию для каждого
, мы имеем
. Ввиду леммы ,
и, следовательно,
. Значит,
. Поскольку
, то
и поэтому по выбору группы
мы заключаем, что
- разрешимая группа. Это означает, что
разрешима, и следовательно,
- разрешимая группа.