Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 6 из 32)

(3) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

, где

и

- максимальная в

подгруппа, которая не является нильпотентной группой.

Пусть

- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех метанильпотентных групп образует насыщенную формацию (см. лемму ), то - единственная минимальная нормальная подгруппа в , причем . В силу (2), является элементарной абелевой -группой для некоторого простого . Пусть - максимальная подгруппа в такая, что . Пусть . Ясно, что . Так как , мы видим, что . Это показывает, что и, следовательно, . Ясно, что и поэтому по выбору группы , не является нильпотентной группой.

(4) Заключительное противоречие.

В силу (3), в группе

имеется максимальная подгруппа , которая не является нормальной подгруппой в . Поскольку для любого , - максимальная в подгруппа и - максимальная подгруппа в , то - -максимальная в подгруппа. Если - нормальная подгруппа в , то . Значит, не является нормальной подгруппой в . Покажем, что - максимальная подгруппа группы . Пусть . Пусть - такая максимальная подгруппа группы , что . Тогда . Значит, или . Первый случай, очевидно, невозможен. Следовательно, . Так как , то - максимальная в подгруппа. Тогда для любого , -перестановочна с . Поскольку , то ввиду леммы (6), перестановочна с . Из максимальности подгруппы следует, что или . Если , то ввиду леммы , . Полученное противоречие показывает, что . Тогда для любого и поэтому . Следовательно, . Это означает, что - нормальная подгруппа в , противоречие. Теорема доказана.

[2.1]. Каждая

-максимальная подгруппа группы

перестановочна с любой максимальной подгруппой в

тогда и только тогда, когда либо

нильпотентна, либо

- такая ненильпотентная группа с

, что циклическая силовская

-подгруппа

группы

не нормальна в

, а максимальная подгруппа группы

нормальна в

.