Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 7 из 32)

Доказательство. Необходимость. Разрешимость группы

следует из теоремы . Предположим теперь, что не является нильпотентной группой. Пусть - максимальная подгруппа группы , которая не является нормальной в . Пусть и - максимальная подгруппа группы . Рассуждая как выше видим, что . Следовательно, , и - циклическая примарная группа. Пусть . Покажем, что . Допустим, что . Пусть - силовская -подгруппа группы и - максимальная подгруппа группы . Тогда - -максимальная подгруппа группы и, следовательно, по условию - подгруппа группы , что противоречит максимальности подгруппы . Отсюда следует, что .

Достаточность очевидна. Следствие доказано.

[2.2]. Если в группе

любая ее максимальная подгруппа перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

и

, то

- нильпотентная группа.

В дальнейшем нам потребуется следующая теорема.

[2.2]. Пусть

- группа,

- ее подгруппа Фиттинга. Если любая

-максимальная подгруппа группы

-перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

, то группа

разрешима и

для каждого простого

.

Доказательство. Предположим, что данная теорема не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1)

- разрешимая группа.

Действительно, если

, то каждая -максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми 3-максимальными подгруппами группы . Тогда по следствию , каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Согласно известной теоремы Хупперта о разрешимости группы, в которой все собственные подгруппы сверхразрешимы, - разрешимая группа.

Пусть теперь

. Так как условие теоремы справедливо для группы , то группа разрешима и поэтому - разрешимая группа.

(2) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

,

где

- такая максимальная в

подгруппа, что

,

и

.

Так как класс всех разрешимых групп

с образует насыщенную формацию , то ввиду (1), и поэтому в группе существует единственная минимальная нормальная подгруппа . Из леммы вытекает, что , где - такая максимальная в подгруппа, что и . Покажем, что делит . Если не делит , то - -группа, и поэтому , что противоречит выбору группы . Итак, делит . Допустим, что . Тогда факторгруппа изоморфна подгруппе группы автоморфизмов . Так как группа абелева, то - сверхразрешимая группа, и поэтому . Полученное противоречие с выбором группы показывает, что .