Смекни!
smekni.com

Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 8 из 32)

(3) Заключительное противоречие.

Пусть

-
-максимальная подгруппа группы
и
- максимальная подгруппа группы
. Тогда
и
. Пусть
- максимальная подгруппа группы
такая, что
является максимальной подгруппой группы
. Покажем, что
- максимальная подгруппы группы
и
- максимальная подгруппа группы
. Так как
, то
- собственная подгруппа группы
. Предположим, что в
существует подгруппа
такая, что
. Тогда из того, что
- максимальная подгруппа группы
, следует, что либо
, либо
. Если
, то
, противоречие. Используя приведенные выше рассуждения видим, что
. Следовательно,
- максимальная подгруппа в
. Рассуждая как выше, мы видим, что
и
- максимальные подгруппы группы
. Отсюда следует, что
-
-максимальная подгруппа группы
и
-
-максимальная подгруппа группы
. По условию существует элемент
такой, что
. Следовательно,

и поэтому

. Таким образом, каждая
-максимальная подгруппа группы
перестановочна с каждой максимальной подгруппой группы
. Ввиду (2) и следствия , получаем, что
, где силовская
-подгруппа нормальна в группе
. Значит,
, где
и
. Пусть
- силовская
-подгруппа и
- силовская
-подгруппа группы
. Пусть
-
-максимальная подгруппа группы
такая, что
. Так как
, то
- неединичная подгруппа. Ясно, что
-
-максимальная подгруппа группы
и
-
-максимальная подгруппа группы
. Следовательно, по условию подгруппа
-перестановочна с
, и поэтому для некоторого
мы имеем
- подгруппа группы
. Поскольку
, то
- нормальная подгруппа в группе
. Так как
, то
- нормальная подгруппа в группе
. Получили противоречие с тем, что
- минимальная нормальная подгруппа. Теорема доказана.

Для доказательства теоремы [2.3] нам понадобятся следующие две леммы.

Если все максимальные подгруппы группы

имеют простые порядки, то
сверхразрешима.

Доказательство. Так как в группе

все
-максимальные подгруппы единичны, то ввиду следствия группа
либо нильпотентна, либо
, где
- подгруппа простого порядка
и
- циклическая
-подгруппа, которая не является нормальной в
подгруппой (
- различные простые числа). Предположим, что
не является нильпотентной группой. Тогда
. Поскольку
, то
- максимальная подгруппа группы
и поэтому
. Так как группа порядка
разрешима, то группа
разрешима. Значит,
- нормальная в
подгруппа и поэтому главные факторы группы
имеют простые порядки. Следовательно,
- сверхразрешимая группа. Лемма доказана.