Классификация групп с перестановочными обобщенно максимальными подгруппами (стр. 9 из 32)

Если в группе

каждая максимальная подгруппа

, индекс

которой является степенью числа

, нормальна в

, то

-

-нильпотентная группа.

Доказательство. Предположим, что данная лемма не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной подгруппы

группы

факторгруппа

-нильпотентна.

Пусть

- максимальная подгруппа группы такая, что явяется степенью числа . Тогда - максимальная в подгруппа и является степенью числа . По условию, нормальна в , и поэтому нормальна в . Так как , то - -нильпотентная группа.

(2) Группа

имеет единственную минимальную нормальную подгруппу

и

-

-подгруппа.

Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы . Так как класс всех -нильпотентных групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), и - единственная минимальная нормальная подгруппа группы . Предположим, что - -подгруппа. Тогда для некоторой -холловой подруппы группы . Поскольку ввиду (1), нормальна в , то - нормальная подгруппа в группе , противоречие. Следовательно, - элементарная абелева -подгруппа.

(3) Заключительное противоречие.

Пусть

- максимальная подгруппа группы , не содержащая . Поскольку абелева, то и поэтому . Это влечет . Следовательно, для некоторого . Значит, - нормальная в подгруппа и поэтому , противоречие. Лемма доказана.

Дополнением к теореме [2.2] является следующий факт.

[2.3]. Пусть

- группа,

- ее подгруппа Фиттинга. Если любая максимальная подгруппа группы

-перестановочна со всеми

-максимальными подгруппами группы

, то группа

разрешима и

для каждого простого

.

Доказательство. Предположим, что теорема не верна, и пусть

- контрпример минимального порядка.

(1)

- непростая группа. Допустим, что

. Поскольку ввиду леммы (3), условие теоремы выполняется для факторгруппы , то по выбору группы , разрешима и поэтому - разрешимая группа. Полученное противоречие показывает, что и, следовательно, любая максимальная подгруппа группы перестановочна со всеми -максимальными подгруппами в .