Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 10 из 20)

Доказательство. По лемме 2.1.6 подгруппа

обладает супердобавлением в , а по теореме 2.2.1 индекс в – простое число, что и требовалось доказать.

Следствие 2.2.5 В любой группе пересечение максимальных подгрупп, не обладающих супердобавлениями, является сверхразрешимой подгруппой.

Доказательство. Данное пересечение совпадает с пересечением максимальных подгрупп непростых индексов. Поэтому это пересечение сверхразрешимо.

Следствие доказано.

Пусть

– формация всех сверхразрешимых групп. Тогда – проектор разрешимой группы называется сверхразрешимым проектором группы или подгруппой Гашюца. По теореме Гашюца в каждой разрешимой группе существует единственный сопряженный класс сверхразрешимых проекторов. Кроме того, если – сверхразрешимый проектор разрешимой несверхразрешимой группы и , то – не простое число. Из теоремы 2.2.1 получаем

Следствие 2.2.6 Сверхразрешимый проектор разрешимой группы обладает супердобавлением тогда и только тогда, когда он совпадает со всей группой.

Доказательство. Пусть

– разрешимая группа и – ее сверхразрешимый проектор. Предположим, что подгруппа обладает супердобавлением в и . Пусть – подгруппа группы , в которой является максимальной подгруппой. По лемме 2.1.6 подгруппа полунормальна в , а по следствию 2.2.4 индекс – простое число. Но это противоречит отмеченному свойству сверхразрешимого проектора. Поэтому . Обратное утверждение очевидно.

Следствие доказано.

Следствие 2.2.7 В разрешимой несверхразрешимой группе сверхразрешимый проектор не квазинормален.

Доказательство. Пусть группа

и – ее сверхразрешимый проектор. Если подгруппа полунормальна, то по следствию 2.2.6 подгруппа – противоречие с выбором группы . Значит, подгруппа не полунормальна, тем более не квазинормальна.

Следствие доказано.

2.3 Супердобавления к силовским подгруппам

Теорема 2.3.1 Пусть

– наибольший простой делитель порядка группы

и

– ее силовская

-подгруппа. Если

обладает супердобавлением в

, то

– нормальная подгруппа группы

.

Доказательство. Докажем вначале утверждение для бипримарных групп. Пусть

и – простые числа, , и – бипримарная группа, где – силовская -подгруппа, а – силовская -подгруппа. По условию обладает супердобавлением в , поэтому, можно считать, что является этим супердобавлением. Если и – различные максимальные подгруппы группы , то из полунормальности следует, что и – собственные в подгруппы. По лемме 2.1.2 и по индукции получаем, что и . Поэтому и нормальна в .

Пусть теперь в

есть единственная максимальная подгруппа. Тогда – циклическая примарная группа, а так как , то нормальна в .

Теперь рассмотрим произвольную группу

. По условию теоремы существует супердобавление к подгруппе в группе , где – силовская -подгруппа для наибольшего делителя порядка группы . То есть и для любой собственной подгруппы из . Пусть – силовская -подгруппа из для . Ясно, что силовская в . Так как – бипримарная подгруппа, в которой полунормальна, по доказанному выше . Из того, что – любое простое число, отличное от , получаем, что нормальна в .