Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 12 из 20)

Группа

разрешима в обычном смысле тогда и только тогда, когда она –разрешима для всех простых Ясно, что группа –разрешима тогда и только тогда, когда она обладает нормальным рядом

в котором каждая факторгруппа

является либо –группой, либо –группой. Поэтому для такой группы можно индуктивно определить верхний –ряд.

где

Здесь – наибольшая нормальная –подгруппа группы – наибольшая нормальная –подгруппа Наименьшее натуральное число для которого называют

–длиной группы

В следующей теореме будет использован результат В.Н. Тютянова: если для любого простого делителя

порядка группы существуют бипримарные –холловские подгруппы, то группа разрешима. В доказательстве этого результата использовалась классификация конечных простых групп.

Теорема 2.3.6 Если в группе

силовская

–подгруппа обладает супердобавлением, то

–разрешима и

для любого

.

Доказательство. В начале приведём утверждение из работы: пусть

– группа и – её полунормальная подгруппа. Тoгда:

– если

– –нильпотентна, то нормальное замыкание подгруппы в группе разрешимо.

– если порядок

подгруппы группы нечетен, то и нечетен.

Рассмотрим два случая.

1) Пусть

. Получаем, что нечетен, где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, подгруппа разрешима. Теперь – -группа. И группа –разрешима. Пусть – произвольный элемент из , . Тогда из теоремы 2.3.1 и , где – силовская –подгруппа группы . Следовательно, теорема верна в этом случае.

2) Пусть

. Имеем и для любой собственной подгруппы из . Из полунормальности силовской –подгруппы группы следует, что в группе существуют – –холловы подгруппа группы для каждого . Таким образом, в группе существуют бипримарные –холловские подгруппы для любого нечётного простого делителя , поэтому группа разрешима.

Теорема доказана.

Лемма 2.3.7. Пусть

–

–разрешимая группа.

Если

– нормальная подгруппа в то

Если

– подгруппа в то

Пусть

и – нормальные подгруппы в тогда

Кроме того,

Пусть

и – нормальные подгруппы в тогда