Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 13 из 20)

Лемма 2.3.8. Пусть

–

–разрешимая группа такая, что

, но

для всех нормальных неединичных подгрупп

группы

. Тогда справедливы следующие условия:

в группе

существует максимальная -нильпотентная нормальная подгруппа которая является элементарной абелевой -группой;

– единственная минимальная подгруппа в группе имеющая добавление;

Лемма 2.3.9. Если

– наименьшее из чисел, принадлежащих

и силовская

–подгруппа

циклическая, то в группе существует нормальная подгруппа

такая, что

.

Непосредственно из определения

–длины получаем следующую лемму.

Лемма 2.3.10 В

–разрешимой группе

тогда и только тогда

, когда факторгруппа

–замкнута.

Лемма 2.3.11 Если в группе

все

–подгруппы имеют супердобавления, то

.

Доказательство. Из леммы 2.3.5 следует, что группа

–разрешима. Применим индукцию по порядку группы . Тогда по лемме 2.3.8 можно считать, что , в группе подгруппа Фиттинга – минимальная нормальная –подгруппа. Пусть – силовская –подгруппа группы . По условию полунормальна. Тогда , где . Для любой собственной подгруппы из верно, что – подгруппа группы . По лемме 2.1.6 все –подгруппы имеют супердобавления в . Так как , то по индукции . Заметим также, что , поскольку . Теперь по лемме 2.3.10 подгруппа .

Если в подгруппе

существуют две максимальные подгруппы и , то и . Следовательно, и . Поэтому в существует единственная максимальная подгруппа и подгруппа примарная циклическая, то есть . Если , то по теореме 2.3.1. Значит .

Пусть

– подгруппа порядка из . Тогда , так как . Теперь , поэтому . Значит, и – циклическая группа порядка, делящего . То есть . Теперь .

Лемма доказана.

Из определения

–сверхразрешимой группы вытекают следующие две леммы.

Лемма 2.3.12 Всякая

–сверхразрешимая группа имеет единичную

–длину.

Лемма 2.3.13 Если подгруппа

,

или

–

–группа и факторгруппа

–сверхразрешима, то и группа

–сверхразрешима. В частности, если группа

–сверхразрешима, то и группа

–сверхразрешима.

Теорема 2.3.14 Если в группе

все

–подгруппы имеют супердобавления, то

–сверхразрешима.