Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 15 из 20)

Подгруппа

полунормальна, для неё супердобавлением является подгруппа . Так и .

Итак, в нильпотентных группах подгруппы, обладающие супердобавлениями, могут быть ненормальными.

3. Факторизации групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами

3.1 Силовские множества и их свойства

Определение 3.1.1 Множество

, состоящее из попарно перестановочных силовских –подгрупп из , в точности по одной подгруппе для каждого , вместе с самой группой , называется силовской системой группы .

В своей книге Дерк и Хоукс использовали название «силовский базис» вместо силовской системы

. Введем следующее определение.

Определение 3.1.2 Силовским множеством группы назовем множество силовских подгрупп, взятых по одной для каждого простого делителя порядка группы, вместе с единичной подгруппой.

Таким образом, если

– группа порядка , то множество будет силовским множеством. Здесь E – единичная подгруппа группы , – силовская –подгруппа группы и все числа различны.

Из теоремы Силова следует, что каждая группа

обладает силовским множеством . Если дополнительно для всех подгрупп из , то силовское множество превращается в силовскую систему, см.. Известно, что любая разрешимая группа обладает силовской системой, и наоборот, если в группе имеется силовская система, то группа разрешима. Кроме того, если и – силовские системы разрешимой группы , то для некоторого .

Пусть

– некоторое множество подгрупп группы и – нормальная подгруппа группы . Воспользуемся следующими обозначениями:

где

– некоторый гомоморфизм группы в некоторую группу .

В разделе 3.1 изучаются свойства силовских множеств, которые необходимы при доказательстве. Для формулировок теорем потребуется следующее

Определение 3.1.3 Пусть

– некоторое множество подгрупп группы . Подгруппа группы называется

–квазинормальной, если для всех . Если – множество всех подгрупп группы , то –квазинормальную подгруппу называют квазинормальной.

Лемма 3.1.4. Пусть

– силовская

–подгруппа группы

и

. Тогда

– силовская

–подгруппа группы

, а

– силовская

–подгруппа факторгруппы

.

Лемма 3.1.5 Пусть

– нормальная подгруппа группы

.

Если

– силовское множество группы , то является силовским множеством факторгруппы .

Если

– силовское множество группы , то является силовским множеством подгруппы .

Если факторгруппа

имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если нормальная подгруппа

группы имеет силовское множество , то найдется в группе такое силовское множество , что .

Если

– силовское множество группы и – некоторый гомоморфизм группы в группу , то является силовским множеством группы .