Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 19 из 20)
Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что
является силовской системой факторгруппы 
.Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами группы
. По индукции все нетривиальные факторгруппы группы сверхразрешимы. Если подгруппа Фраттини 
, то все условия теоремы переносятся на факторгруппу 
. И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы 
. Откуда вытекает сверхразрешимость и самой группы . Поэтому подгруппа Фраттини группы 
единична. Если в группе найдутся две минимальные нормальные подгруппы 
и 
, то в силу индуктивных рассуждений факторгруппы 
и 
будут сверхразрешимы. Поэтому 
будет также сверхразрешима, то есть сверхразрешима группа 
. Значит в группе 
существует не более одной минимальной нормальной подгруппы, а подгруппа Фиттинга является единственной минимальной нормальной подгруппой. Ввиду предыдущей теоремы группа дисперсивна по Оре, значит для наибольшего простого делителя 
порядка группы силовская –подгруппа 
из является минимальной нормальной подгруппой. Допустим, что делит порядок подгруппы 
. Так как 
сверхразрешима, то в 
имеется нормальная подгруппа 
простого порядка . По условию теоремы произведение 
есть подгруппа группы 
, где 
– 
–холлова подгруппа группы , являющаяся произведением всех силовских 
–подгрупп из силовской системы 
. Поэтому – нормальная подгруппа группы 
, поскольку все подгруппы -замкнутой группы являются –замкнутыми. Теперь 
, поэтому нормальна в 
и по индукции 
сверхразрешима. Значит и 
сверхразрешима.Теорема доказана.
Данная теорема является обобщением следующих результатов.
Следствие 3.2.4. Пусть и 
– сверхразрешимые подгруппы группы такие, что 
. И пусть квазинормальна в и квазинормальна в . Тогда сверхразрешима.
Следствие 3.2.5. Пусть группа , где , – сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков с силовскими системами 
и 
соответственно. Если и циклические подгруппы из 
–квазинормальны, 
и циклические подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.
Следствие 3.2.6. Пусть группа , где 
, – сверхразрешимые подгруппы группы 
с силовскими системами и соответственно. Если элементы силовских систем и попарно перестановочны, циклические подгруппы из –квазинормальны, циклические подгруппы из –квазинормальны, то группа сверхразрешима.