Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 2 из 20)

Вполне естественно возниает вопрос: для каких делителей

порядка конечной группы имеется подгруппа порядка .

Положительный ответ на этот вопросв случае, когда

– степень простого числа, даёт теорема Силова. Для доказательства теоремы Силова потребуется следующая лемма.

Лемма 1.2 Если порядок конечной абелевой группы

делится на простое число

, то в группе

существует элемент порядка

.

Доказательство. Предположим противное, т.е. допустим, что существует абелева группа

порядка , простое число делит , то в группе существует элемент порядка . Пусть .

Если

делит для некоторого , то – элемент порядка , противоречие. Поэтому все элементы группы имеют порядки, не делящиеся на .

не делится на

.

Так как группа

абелева, то – подгруппа, и к произведению можно применить следующее

не делится на

.

Затем

обозначаем через и опять получаем, что не делится на . Через конечное число шагов приходим к выводу, что не делится на . Но

и

, т.е. получаем, что не делит . Противоречие. Значит, допущение неверно и лемма спарведлива.

Пусть

– простое число. - Группой называют конечную группу, порядок которой есть степень числа . Конечная группа называется примарной, если она является -группой для некоторого простого .

Теорема 1.3 . Пусть конечная группа

имеет порядок

, где

– простое число и

не делит

. Тогда спарведливы следующие утверждения:

в группе

существует подгруппа порядка для каждого ;

если

– -подгруппа группы и – подгруппа порядка , то существует такой элемент , что ;

любые две подгруппы порядка

сопряжены в группе ;

число подгрупп порядка

в группе сравнимо с единицей по модулю и делит .

Доказательство. Доказательство проведём индукцией по

. По индукции считаем, что для всех групп, порядок которых меньше порядка утверждение теоремы выполняется. Рассмотрим два случая.

Случай 1. Порядок центра

делится на .

Так как

– абелева группа, то к применима лемма 1.2. По этой лемме в есть элемент порядка . Так как – нормальная подгруппа группы порядка , то факторгруппа имеет порядок и по индукции в группе имеется подгруппа порядка для каждого . По теореме о соответствии в группе имеется подгруппа такая, что и . Теперь , где . Итак, в группе порядков соответственно.