Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 7 из 20)

Доказательство. Пусть

полунормальна в и . Так как , то по тождеству Дедекинда имеем . Пусть – наименьшая подгруппа из , для которой . Если – собственная подгруппа из , то . Поскольку , то – подгруппа группы , поэтому полунормальна в и – супердобавление в .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.7 Если

– полунормальная подгруппа группы

и

, то

– полунормальная подгруппа группы

и любая группа из

содержит супердобавление к

в

.

Доказательство. Пусть

полунормальна в и . Тогда . Пусть – наименьшая подгруппа из такая, что . Выберем произвольную подгруппу из , отличную от . Так как , то . Поскольку , то по тождеству Дедекинда . Теперь , а из полунормальности следует, что – подгруппа группы и – собственная подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и . Так как , то лемма доказана.

Лемма 2.1.8 Пусть

– полунормальная подгруппа группы

и

. Если

– полунормальная подгруппа группы

, то

– полунормальная подгруппа группы

и

.

Доказательство. По условию

и , где . Кроме того, – подгруппа группы . Ясно, что . Если – собственная подгруппа в , то – собственная подгруппа в и . Ясно, что и перестановочны с , поэтому . Так как , то . Значит, является супердобавлением к в , то есть , что и требовалось доказать.

Лемма 2.1.9 Если

– подгруппа группы

и

– её минимальное добавление, то следующие утверждения эквивалентны:

полунормальна в группе и ;

для каждого элемента

и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что .

Доказательство.

. Пусть подгруппа полунормальна в группе и – ее супердобавление. Подгруппа , где пробегает все элементы группы , причем – подгруппа группы , что следует из полунормальности . Поэтому . Теперь выбираем произвольные элемент и элемент . В силу того, что получаем, что для некоторого целого числа и некоторого элемента .