Полунормальные подгруппы конечной группы (стр. 8 из 20)

. Пусть для каждого элемента и каждого элемента существуют целое число и элемент такие, что . Так как из равенства вытекает включение , а из равенства следует, что , значит . Ввиду того, что для любой подгруппы из имеем , где , то получаем равенство . Это означает, что полунормальна в и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.10 Пусть

, подгруппа

нормальна в группе

. Подгруппа

полунормальна в группе

тогда и только тогда, когда подгруппа

полунормальна в группе

.

Доказательство. Пусть подгруппа

полунормальна в группе . Тогда по лемме 2.1.7 подгруппа полунормальна в группе .

Обратно, если

полунормальна в , то из определения полунормальной подгруппы получаем, что существует подгруппа из факторгруппы такая, что и , где . Откуда следует, что . Пусть – наименьшая подгруппа из такая, что и . Рассмотрим произвольную собственную подгруппу из .

Если

, то – собственная подгруппа группы , поэтому – подгруппа группы .

Если

не содержит , то – подгруппа группы и – подгруппа группы . Это означает, что полунормальна в и .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.11 Пусть подгруппа

полунормальна в

,

и

. Тогда для любого

подгруппа

перестановочна со всеми сопряженными подгруппами

.

Доказательство. Если элемент

, то , где , . Из полунормальности подгруппы вытекает, что . Имеем . Поэтому .

Лемма доказана.

Лемма 2.1.12 Произведение квазинормальной и полунормальной подгрупп является полунормальной подгруппой. В частности, произведение нормальной и полунормальной подгрупп есть полунормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть

– квазинормальная подгруппа группы и – полунормальная подгруппа с супердобавлением . Тогда и – собственная подгруппа группы для всех собственных подгрупп из . Пусть – наименьшая в подгруппа, для которой . Если , то , а так как – подгруппа группы и квазинормальная, то и есть подгруппа группы .