Геометрия 10 класс Бевз профиль (стр. 10 из 16)

^BD + 1 +2  180.

ÂІÄÏÎÂІÄÜ. Ñóìà êóòіâ êîæíîї

²1 òàêîї ï’ÿòèêóòíîї çіðêè äîðіâíþє

180.

^{A E}Ó çàäà÷àõ íà ïîáóäîâó âèìàãà-

_{Ìàë. 24}єòüñÿ ïîáóäóâàòè ôіãóðó çі âêàçàíèìè

ÇÀÄÀ×À 3. Äîâåäіòü, ùî ñóìà âіäñòàíåé âіä äîâіëüíîї òî÷êè Õ âíóòðіøíüîї îáëàñòі ïðàâèëüíîãî òðèêóòíèêà äî éîãî ñòîðіí ñòàëà, òîáòî íå çàëåæèòü âіä ïîëîæåííÿ öієї òî÷êè.

ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íåõàé ÀÂÑ – ïðàâèëüíèé òðèêóòíèê çі ñòîðîíîþ à і

C âèñîòîþ h, Õ – äîâіëüíà òî÷êà ó éîãî âíóòðіøíіé îáëàñòі, à ÕK, ÕÐ, ÕÒ – ïåðïåíäèêóëÿðè äî ÀÂ, ÂÑ, ÀÑ (ìàë. 27).

Âèðàçèìî äâîìà ñïîñîáàìè ïëîùó S

Âіäðіçêè ÕÀ, ÕÂ, ÕÑ äàíèé òðèêóòíèê ðîçáèâàþòü íà òðè òðèêóòíèêè ç îñíîâàìè ÀÂ, ÂÑ, ÑÀ і âèñîòàìè ÕK, ÕÐ, ÕÒ. Їõ ïîäâîєíі ïëîùі äîðіâíþþòü à · ÕK, à · ÕÐ, à · ÕÒ, à ïîäâîєíà ïëîùà âñüîãî òðèêóòíèêà à · h. Îòæå, à · ÕK + à · ÕÐ + à · ÕÒ  à · h, çâіäñè ÕK + ÕÐ + ÕÒ  h.

Îòæå, äå á íå áóëà òî÷êà Õ (óñåðåäèíі ABC), ñóìà âіäñòàíåé âіä íåї äî ñòîðіí íå çìіíþєòüñÿ і äîðіâíþє h.

Ó çàäà÷àõ íà äîñëіäæåííÿ ïðîïîíóєòüñÿ äîñëіäèòè ùî-íåá óäü.

ÇÀÄÀ×À 4. Êîæíà ñòîðîíà ïàðà ëå ëî ãðàìà ïàðàëåëüíà ïðîòè ëåæíіé ñòîðîíі. À ÷è іñíóє ÷îòèðèêóòíèê, êîæíà ñòîð î íà ÿêîãî ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðî òè ëåæíîї ñòîðîíè?

ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Ïåðøèé ñïîñіá. Ñïðîá óєìî íàêðåñëèòè õî÷à á îäèí ç òàêèõ ÷îòèðèêóòíèêіâ. Íåõàé ÀÂ і ÑD – éîãî ïðîò èëåæíі ñòîðîíè – ïåðïåíäèêóëÿðíі âіäðіçêè. Ïðîâіâøè âіäðіçêè ÀD і ÂÑ, óòâîðèìî ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑD, ó ÿêîãî ÀÂ  ÑD (ìàë. 28). Äâі іíøі éîãî ñòîðîíè ÀD і ÂÑ ìîæóòü áóòè íå ïåðïåí äè êóëÿðíі. Àëå ïðîäîâæèâøè àáî âêîð î òèâøè âіä ðі çîê ÀÂ, ìîæíà äîñÿãòè, ùîá і âîíè ñòàëè ïåðïåíäèêóëÿðíèìè.

ÂІÄÏÎÂІÄÜ. ×îòèðèêóòíèê, êîæíà ñòîðîíà ÿêîãî ïåðïåíäè êóëÿðíà äî ïðî òèëåæíîї ñòîðîíè, іñíóє.

Äðóãèé ñïîñіá. Íåõàé ÀÂÑ – äîâіëüíèé ãîñòðîêóòíèé òðèêóòíèê, à éîãî âèñîòè ïåðåòèíàþòüñÿ â òî÷öі Í (ìàë. 29).

Ìàë. 29

Çàôàðáóєìî íåîïóêëèé ÷îòèðèêóòíèê ÀÂÑÍ. Êîæíà éîãî ñòîðîíà ïåðïåíäèêóëÿðíà äî ïðîòèëåæíîї ñòîðîíè.

Äðóãèé ñïîñіá ïðîäóêòèâíіøèé: âіí äîäàòêîâî ïîêàçóє, ùî â òàêîãî ÷îòèðèêóòíèêà äіàãîíàëі ïåðïåíäèêóëÿðíі. À îòæå, ñåðåäèíè ñòîðіí ÷îòèðèêóòíèêà ÀÂÑÍ – âåðøèíè ïðÿìîêóòíèêà, à ïëîùà ÷îòèðèêóòíèêà ÀÂÑÍ äîðіâíþє ïіâäîáóòêó äіàãîíàëåé òîùî. ßêùî â ðîçâ’ÿçàííі âèêîðèñòîâóþòü òіëüêè ãåîìåòðè÷íі âіäîìîñòі, òàêå ðîçâ’ÿçàííÿ íàçèâàþòü ãåîìåòðè÷íèì. ßêùî æ âèêîðèñòîâóþòü âіäîìîñòі ç àëãåáðè ÷è ìàòåìàòè÷íîãî àíàëіçó, òî êàæóòü ïðî àíàëіòè÷íå ðîçâ’ÿçàííÿ. Íàé÷àñòіøå àíàëіòè÷íå ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і çâîäèòüñÿ äî ñêëàäàííÿ çà óìîâîþ ãåîìåòðè÷íîї çàäà÷і âіäïîâіäíèõ ðіâíÿíü ÷è ñèñòåì ðіâíÿíü.

ÇÀÄÀ×À 5. Çíàéäіòü ïëîùó ðîìáà, ÿêùî éîãî âèñîòà і ìåí øà äіàãîíàëü âіäïîâіäíî äîðіâíþþòü 12 ñì і 13 ñì. ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íåõàé ÀÂÑD – ðîìá

(ìàë. 30), à ÂÍ і ÂD – éîãî âèñîòà і äі à- ãîíàëü. Òîäі ÂÍ  12 ñì, ÂD  13 ñì, à

ÍD 

(ñì).

Íåõàé ÀÍ  õ. Òîäі ÀÂ  AD  AH +

+ HD  x + 5.

Ç ÀÂÍ ÀÂ²  ÂÍ² + ÀÍ². Ìîæåìî Ìàë. 30 ñêëàñòè ðіâíÿííÿ:

(x + 5)²  12² + õ², àáî õ² + 10õ + 25  144 + õ², çâіäñè õ  11,9 (ñì).

Ìàєìî ÀÂ  x + 5  11,9 + 5  16,9 (ñì). Çíàéäåìî òåïåð ïëîùó S ðîìáà ÀÂÑD.