Геометрия 10 класс Бевз профиль (стр. 11 из 16)

S  ÂÍ · AD, òîáòî S  12 · 16,9  202,8 (ñì²).

ÂІÄÏÎÂІÄÜ. S  202,8 ñì².

Åôåêòèâíèìè ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóâàííÿ ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷ є êîîðäèíàòíèé і âåêòîðíèé ìåòîäè.

Êîîðäèíàòíèé ìåòîä ïîëÿãàє â òîìó, ùî ðîçâ’ÿçóþ÷è ãåîìåòðè÷íó çàäà÷ó, îïåðóþòü êîîðäèíàòàìè îêðåìèõ òî÷îê, ðіâíÿííÿìè ïðÿìèõ àáî іíøèõ ëіíіé. Ðîçâ’ÿçóþ÷è çàäà÷ó êîîðäèíàòíèì ìåòîäîì, ðîçãëÿäóâàíі ôіãóðè ðîçìіùóþòü íà êîîðäèíàòíіé ïëîùèíі. Ïðèïèñàâøè îêðåìèì òî÷êàì ôіãóð êîîðäèíàòè, à ëіíіÿì — ðіâíÿííÿ, äàëі îá÷èñëþþòü êîîðäèíàòè іíøèõ òî÷îê, âèâîäÿòü ðіâíÿííÿ іíøèõ ëіíіé. Ó ðåçóëüòàòі îòðèìóєìî ïîòðіáíó âіäïîâіäü.

Ðàöіîíàëüíіñòü ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷і öèì ìåòîäîì çíà÷íîþ ìіðîþ çàëåæèòü âіä òîãî, ÿê ðîçãëÿäóâàíó ôіãóðó ðîçìіñòèòè âіäíîñíî êîîðäèíàòíèõ îñåé. Íàéçðó÷íіøå öèì ìåòîäîì êîðèñòóâàòèñÿ òîäі, êîëè â çàäà÷і ìîâà éäå ïðî ïðÿìі êóòè àáî ñóìè êâàäðàòіâ ÿêèõîñü âіäñòàíåé.

ÇÀÄÀ×À 6. Çíàéäіòü ñóìó êâàäðàòіâ âіäñòàíåé âіä äîâіëüíîї òî÷êè êîëà ðàäіóñà 5 ñì äî âåðøèí îïèñàíîãî íàâêîëî íüîãî êâàäðàòà.

ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Êîëî ðàäіóñà 5 ñì і îïèñàíèé íàâêîëî íüîãî êâàäðàò ðîçìіñòèìî â ñèñòåìі êîîðäèíàò òàê, ùîá її îñі áóëè ñåðåäèííèìè ïåðï åí äè êó ëÿðàìè äëÿ ñòîðіí êâàäðàòà (ìàë. 31). Òîäі êîëó âіäïîâіäàòèìå ðіâíÿííÿ õ² + + ó²  25, à âåðøèíè êâàäðàòà ìàòè ìóòü êîîðäèíàòè À(5; –5), Â(5; 5), Ñ(–5; 5),

ßêùî Ì(õ; ó) – äîâіëüíà òî÷êà êîëà, òî ÌÀ² + ̲ + ÌѲ + + ÌD  (5 – õ) + (–5 – ó)² + (5 – õ)²+ (5 – ó)² + (–5 – õ)²+ + (5 – ó) + (–5 – õ)²+ (–5 – ó)²  2((5 – õ)²+ (5 + õ)²+ (5 + + ó)² + (5 – ó) )  200 + 4(õ² + ó²)  300 (ñì²).

2

ßêùî çàäà÷ó ðîçâ’ÿçóþòü, âèêîðèñòîâóþ÷è âëàñòèâîñòі âåêòîðіâ, òî öå – âåêòîðíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і. Äëÿ åôåêòèâíîãî éîãî çàñòîñóâàííÿ ñëіä óìіòè ãåîìåòðè÷íі ñïіââіäíîøåííÿ (âëàñòèâîñòі ãåîìåòðè÷íèõ ôіãóð) çàïèñóâàòè ó âèãëÿäі âåêòîðíèõ ðіâíîñòåé. Ïðè öüîìó ÷àñòî âèêîðèñòîâóþòü òàêі òâåðäæåííÿ òà âåêòîðíі ðіâíîñòі:

1) OA  OB – òî÷êè À і  çáіãàþòüñÿ;

2) AB  kCD – ïðÿìі ÀÂ і CD ïàðàëåëüíі àáî çáіãàþòüñÿ;

3) AB  kAC – òî÷êè À, Â, Ñ ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé;

4) AB · CD  0 – ïðÿìі ÀÂ і CD ïåðïåíäèêóëÿðíі;

5) , à ÷èñëà m і n äîäàòíі – òî÷êà Ì äіëèòü

âіä ðіçîê ÀÂ ó âіäíîøåííі ÀÌ : ÌÂ  m : ï;

6) a · b  |a| · |b| cos – êóò ìіæ ïðÿìèìè, íà ÿêèõ ëåæàòü âåêòîðè a і b, äîðіâíþє ;

– Ì – ñåðåäèíà âіäðіçêà ÀÂ;

– Ì – òî÷êà ïåðåòèíó ìåäіàí

– òî÷êà Ì äіëèòü âіäðіçîê ÀÂ

Êîðèñòóþ÷èñü öèìè ñïіââіäíîøåííÿìè, ìîæíà ðîçâ’ÿçóâàòè áàãàòî ãåîìåòðè÷íèõ çàäà÷ òà äîâîäèòè òåîðåìè.

Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷і âåêòîðíèì ìåòîäîì ñêëàäàєòüñÿ ç êіëüêîõ êðîêіâ:

– ïîäàíі â çàäà÷і ñïіââіäíîøåííÿ «ïåðåêëàäàþòü ìîâîþ» âåêòîðіâ, òîáòî çàïèñóþòü їõ âіäïîâіäíèìè âåêòîðíèìè ðіâíîñòÿìè;

– îòðèìàíі âåêòîðíі ðіâíîñòі ïåðåòâîðþþòü, âèêîðèñòîâóþ÷è ïðàâèëà âåêòîðíîї àëãåáðè;

– âіä ìîâè âåêòîðіâ ïåðåõîäÿòü äî ìîâè ãåîìåòðії.

ÇÀÄÀ×À 7. Òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìèõ, ÿêèì íàëåæàòü áі÷íі ñòîðîíè òðàïåöії, òà ñåðåäèíè її îñíîâ ëåæàòü íà îäíіé ïðÿìіé. Äîâåäіòü.

ÐÎÇÂ’ßÇÀÍÍß. Íà ìàëþíêó 32 çîáðàæåíî òðàïåöіþ ÀÂÑD. Òî÷êè Ì і N – ñåðåäèíè її îñíîâ, à Î – òî÷êà ïåðåòèíó ïðÿìèõ À і ÑD. Ùîá äîâåñòè, ùî òî÷êè Ì, N і Î ëåæàòü íà îäíіé ïðÿ ìіé,

ïîêàæåìî, ùî âåêòîðè OM і ON – êî ëіíåàðíі.

Îñêіëüêè Ì – ñåðåäèíà ÂÑ, à N – ñåðåäèíà AD, òî âèêîíóþòüñÿ ðіâíîñòі: