Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 15 из 16)
5. Найти условия, при которых сферический четырёхугольник будет описанным около некоторой окружности.
Геометрические места точек
1. Даны три точки А, В и С, лежащие на одной сфере. Найти геометрическое место таких точек М, что сферические треугольники МАВ и МАС равновелики. Предполагается, что эти два треугольника имеют одинаковое расположение.
2. Найти внутри сферического треугольника такую точку, чтобы большие окружности, соединяющие её с вершинами треугольника, делили площадь треугольника на три части, две из которых были бы равновелики, а третья равнялась удвоенной площади каждой из двух первых.
Решение: Пусть внутри данного сферического треугольника АВС требуется найти точку М (см. рис.), для которой SMBC=2SMCA=2SMAB.
При этом будем иметь:
SMBC=
SABC (1)SMCA=
SABC (2)В силу теоремы Лекселля, геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (1) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Строим на стороне АВ треугольника АВС такую точку D, что дуга CD делит его на две равновеликие части, и проводим малую окружность через точку D и через точки, диаметрально противоположные точкам В и С.
Рис.10
Точно также геометрическое место точек М, удовлетворяющих условию (2) и лежащих внутри треугольника АВС, есть некоторая дуга малой окружности. Аналогично на стороне АВ найдём такую точку Е, что
SACE=
SABC, и проведя малую окружность через точку Е и через точки диаметрально противоположные точкам С и А.
Искомая точка М есть точка пересечения обоих построенных геометрических мест.
3. Найти на данной окружности такую точку, чтобы дуги больших окружностей, соединяющих её с двумя данными точками той же окружности, образовали между собой данный угол.
Решение: Пусть С - данная окружность (рис. 11 и 12), О - её полюс, А и В - данные точки этой окружности и М — искомая точка той же окружности.
Рис. 11 Рис. 12
Введём обозначения ÐОАВ=a и ÐАМВ=f. Сумма углов сферического треугольника АМВ будет при этом равна 2a+2f, как это следует из равенства углов при основании в каждом из равнобедренных треугольников ОАВ, ОАМ и ОВМ. Это выражение для суммы углов будет справедливо как в том случае, когда точка О лежит внутри ∆МАВ (рис. 11), так и в том случае, когда она лежит вне этого треугольника (рис. 12). Так как сумма углов ∆АВМ должна иметь известную величину 2a+2f, то и его площадь должна иметь вполне определенную величину. Следовательно, точка М должна лежать (по теореме Лекселля) на одной из двух вполне определенных дуг, имеющих своими концами точки, диаметрально противоположные точкам А и В. Точки пересечения этих двух дуг с окружностью С и будут искомыми.
Чтобы построить теперь эти искомые точки, достаточно, в силу сказанного, решить следующую задачу:
Построить геометрическое место точек М, образующих с двумя данными точками А и В сферический треугольник МАВ, имеющий данную сумму углов (или, что сводится к тому же, данную площадь).
Как уже было отмечено, искомое геометрическое место точек М состоит из двух дуг малых кругов, имеющих своими общими концами точки А' и В', диаметрально противоположные точкам А и В. Если О - полюс одного из этих малых кругов (рис. 13), то будем иметь (теорема 8):
ÐВ'А'О =
(ÐВ'А'М + ÐMB'А' — ÐA'MB') = (2d — ÐВАМ + 2d —ÐMBA — ÐАМВ) = 2d — (ÐBAM + ÐMBA + ÐAMB).Таким образом, известны равные между собой углы В'А'О и А'В'О, и точку О можно построить.
Рис. 13
Если угол В'А'О, определённый, как указано, окажется отрицательным, то это значит, что центр О каждой из дуг, входящих в состав искомого геометрического места, лежит с этой дугой по разные стороны от большого круга АВ.
4. Если большая окружность перемещается по сфере, оставаясь касательной к данной малой окружности С, то тот из полюсов этой большой окружности, который лежит в той же полусфере, что и окружность С, описывает малую окружность С′, которая называется полярной по отношению к С; зависимость между окружностями С и С′ взаимная, т.е. окружность, полярная по отношению к С′, есть данная окружность С.
Решение: Пусть С — данная малая окружность сферы (см. рис.14) и Р - тот из его полюсов, который лежит во внутренней области. Большая окружность сферы, касающаяся окружности С в некоторой точке М, перпендикулярна к сферическому радиусу РМ окружности С, проведенной в точку Р. Поэтому тот из полюсов М' большой окружности, касательной к данной в точке М, которая расположена в одной полусфере с окружностью С, лежит на большой окружности МР, по ту же сторону от точки М, что и точка Р, на расстоянии ММ', равном квадранту, от точки М. Иначе говоря, точки М и М′ лежат на одной большой окружности с точкой Р, по разные стороны от Р и на расстоянии, равном квадранту, одна от другой.
Если точка М описывает данную окружность С, то точка М' также описывает малую окружность С', имеющую точку Р своим полюсом, так как дуга РМ' не изменяет при этом своей величины.
Рис.14
Окружность, полярная по отношению к С', будет совпадать с окружностью С, так как обе окружности имеют общий полюс Р, и радиус окружности, полярной по отношению к С′, совпадает с радиусом окружности С.
Тригонометрические соотношения в сферических треугольниках
1. Вычислить длину дуги параллели земного шара, соединяющей a=42015′ и проходящей через точку с широтой f=37024′. Радиус земного шара R=6370 км.
2. Доказать «формулу пяти элементов»:
Решение:
3. Доказать, что:
4. Доказать вторую теорему косинусов:
5. Доказать «формулу четырёх элементов»:
6. Доказать «Сферическую теорему Пифагора»:
7. Доказать, что в сферическом треугольнике верно равенство:
8. Доказать, что для сферических треугольников, где
, верно равенство: 
9. Для прямоугольного сферического треугольника (
) вывести формулу: 
10. Для прямоугольного сферического треугольника (
) вывести формулу: 
11. Для прямоугольного сферического треугольника (
) вывести формулу: 
12. Доказать, что если в прямоугольном сферическом треугольнике (
) имеют место соотношения: 
(либо 
), то 
. Если же 
(либо 
), то 
.13. Пусть дуга BD большой окружности перпендикулярна к стороне АС сферического треугольника АВС, причём длина этой дуги
. Доказать справедливость равенств: 
.14. Доказать, что во всяком сферическом треугольнике справедливы равенства:
.15. Доказать, что углы всякого сферического треугольника можно вычислить по его сторонам, пользуясь формулами:
,