Применение дистанционного обучения при изучении курса сферической геометрии (стр. 9 из 16)

7.5. Формулы котангенсов.

Деля почленно формулу пяти элементов (23) на вытекающее из формулы (22) равенство

мы получим равенство

т. е.

или

. (26)

Мы получили одну из формул котангенсов, которую обычно формулируютв виде: произведение синуса одной стороны сферического треугольника на котангенс другой без произведения синуса угла, лежащего против третьей стороны, на котангенс угла, лежащего против второй стороны, равно произведению косинуса первой стороны на косинус угла, лежащего против третьей стороны.

Существуют и другие формулы котангенсов, например:

, (27)

7.6. Случай прямоугольного сферического треугольника.

В случае, когда сферический треугольник АВС—прямоугольный треугольник с прямым углом A, теорема косинусов (7) принимает вид

,(28)

т. е. косинус гипотенузы равен произведению косинусов катетов. Эта теорема, связывающая гипотенузу и катеты прямоугольного сферического треугольника, является аналогом теоремы Пифагора и называется сферической теоремой Пифагора.

В случае прямого угла А теорема синусов (10) принимает вид равенств

, (29)

. (30)

Формулы (29) и (30) называются формулами синусов для прямоугольного сферического треугольника.

В случае прямого угла Aформулы пяти элементов (13) и (15) принимают вид

откуда находим формулы

(31)

. (32)

Формулы (31) и (32) называются первыми формулами тангенсов для прямоугольного сферического треугольника.

В случае прямого угла Aформула (23) двойственной теоремы косинусов принимает вид

откуда находим формулу

. (33)

Формула (33) называется формулой котангенсов для прямоугольного сферического треугольника.

В случае прямого угла Aформулы (24) и (25) двойственной теоремы косинусов принимают вид

(34)

. (35)

Формулы (34) и (35) называются формулами косинусов прямоугольного сферического треугольника.

В случае прямого угла Aформулы котангенсов (26) и (27) принимают вид

откуда находим формулы

, (36)

. (37)

Формулы (36) и (37) называются вторыми формулами

тангенсов прямоугольногосферического треугольника.

Сферическая теорема Пифагора, две формулы синусов, две первые формулы тангенсов, формула котангенсов, две формулы косинусов и две вторые формулы тангенсов составляют десять формул прямоугольного сферического треугольника.

7.7. Решение сферических треугольников.

Выведенные нами тригонометрические соотношения позволяют «решить сферический треугольник» по любым трем из его элементов (сторон и углов). Если нам даны три стороны сферического треугольника, то по формуле (7) теоремы косинусов находим

и аналогично по формулам (8) и (9) находим соsВ и соs С.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол между ними, например стороны b, с и угол А, то сторону а найдем но формуле (7) теоремы косинусов. Зная все три стороны сферического треугольника, найдем его остальные углы, как указано выше.

Если нам даны две стороны сферического треугольника и угол, лежащий против одной из них , например стороны а, bи угол A, то по формуле (10) теоремы синусов находим

Заметим, что эта формула даёт для В два значения, дополняющих друг друга до p; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными сторонами и равными углами, лежащими против одной из этих сторон, не обязательно равны, а возможен случай, когда углы этих треугольников, лежащих против другой стороны, дополняют друг друга до л, как мы это видели, рассматривая четвёртый признак равенства сферических треугольников.

Для определения стороны с и угла С проведём через вершину С дугу большой окружности АВ. Если эти большие окружности пересекаются в точке D, то рассмотрим прямоугольные сферические треугольники АСD и ВСD (рис. 34). В этих треугольниках известны гипотенузы b и а и углы при вершинах А и В. Второй катет каждого из этих треугольников определяется по первым формулам тангенсов (31) или (32), а угол при вершине С определится по формуле котангенсов (37).

Рис.34

Сторона с и угол Cсферического треугольника АВС являются суммами найденных сторон или углов прямоугольных треугольников, если точка D лежит на стороне АВ, и разностям и этих сторон или углов, если точка Dлежит на продолжении стороны АВ. Именно, если оба угла A,В в исходном треугольнике АВС являются острыми или оба тупыми, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку C, пересекает окружность АВ в двух точках, одна из которых лежит на дуге АВ; эту точку и следует принять за Dв рассматриваемом случае (рис. 34). Таким образом, углы при вершинах А и В в прямоугольных треугольниках АСD и ВСD совпадают с углами А и В исходного треугольника АВС, а сторона с и угол С треугольника АВС являются суммами найденных нами сторон или углов прямоугольных треугольников АСD и ВСD. Если же в треугольнике АВС один из углов A, В острый, а второй—тупой, то перпендикулярная к АВ окружность, проходящая через точку С, пересекает окружность АВ в двух точках, ни одна из которых не лежит на дуге АВ. В этом случае за D можно принять

любую из этих точек, например ту, которая лежит на продолжении стороны АВ за точку В (рис. 35).

Рис.35

Таким образом, угол при вершине А в∆АСDравен углу А треугольника АВС, а угол при вершине В в ∆ВСD равен p — В. При этом сторона с и угол С треугольника АВС являются разностями сторон АD, ВD или углов при вершине С треугольников АСDи ВСD. Наконец, если один из углов A, В (например, А) прямой, то треугольник АВСпрямоугольный, и для нахождения стороны с и угла С можно в атом случае воспользоваться формулами (28), (31).

Если нам даны три угла сферического треугольника, то по формуле (23) двойственной теоремы косинусов находим

и аналогично по формулам (24) и (25) находим

Если нам даны два угла сферического треугольника и сторона между ними, например сторона а и углы Bи C, то угол А найдем но формуле (23) двойственной теоремы косинусов. Зная все три угла сферического треугольника, найдем его остальные стороны, как указано выше.

Если, наконец, нам даны два угла сферического треугольника и сторона, лежащая против одною из них, например углы А и В и сторона а, то по формуле (10) теоремы синусов находим

Заметим, что эта формула дает для bдва значения, дополняющих друг друга до pr; это соответствует тому, что в общем случае два сферических треугольника с двумя соответственно равными углами и равными сторонами, лежащими против одного из этих углов, не обязательно равны, а возможен случай, когда стороны этих треугольников, лежащие против другого угла, дополняют друг друга до pr, как мы это видели, рассматривая V признак равенства сферических треугольников. Сторону с и угол С по углам А, В и сторонам а, bмы найдем, как указано выше.