Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 10 из 16)
Ответ.
.Пример Гальперин Г.А. Положительные числа 
, 
, 
и 
таковы, что система уравнений
имеет
решений, а система уравнений 
имеет
решений. Известно, что 
. Найдите и .Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от
и либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо 
. Условию удовлетворяет только вариант 
, 
.Ответ.
, .Перевод алгебраической задачи на геометрический язык --- удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:
.а) Решите уравнение
;б) Решите неравенство
;в) Найдите количество решений уравнения
в зависимости от значений параметра 
.Решение. Построим график функции
. Для этого заметим, что 
, а тогда мы можем сначала построить график функции 
, и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию 
: 
Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. ).
Теперь решение задач не представляет труда:
а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой
с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен 
), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть 
, а искомая абсцисса равна 
.б) Неравенство
выполнено при всех 
из отрезка 
.в) При
, 
решений нет, при 
уравнение имеет три решения, при 
--- четыре решения, при 
--- два решения. Решение уравнений с использованием тождества 
Пример Решить уравнение
Решение. Дважды применяя тождество
, получим уравнение 
решением которого является интервал
.Ответ.
.Пример Решить уравнение
Решение.
.Ответ.
.Применение теоремы о знаках при решении уравнений
Сформулируем теорему, удобную при решении неравенств, относительно произведений или частных разности модулей:
Теорема Знак разности модулей двух выражений совпадает со знаком разности квадратов этих выражений.
Пример Решить неравенство
Решение. Воспользуемся теоремой:
Используя формулу разности квадратов, разложим числитель и знаменатель на множители и решим полученное рациональное неравенство.
Ответ.
Решение уравнений переходом к следствию
Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения. Остается только проверить не приобрели ли мы посторонних корней прямой их подстановкой в исходное уравнение.
Решение. Последовательно переходя к следствиям, получаем:
Нетрудно убедится, что найденные числа не являются корнями исходного уравнения.
Ответ. нет решения.
В случае вложенных знаков модуля тоже можно рассмотреть весь набор получающихся при раскрытии модуля уравнений среди решений которых содержатся решения исходного уравнения, а потом отобрать из всех полученных решений подходящие хотя бы с помощью проверки.