Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании (стр. 11 из 16)
Пример Решите уравнение
Решение. Все корни исходного уравнения содержатся среди корней двух уравнений
которые можно переписать в виде
Аналогично, каждое из этих уравнений распадается на два:
что приводит к четырём уравнениям:
Отсюда получаем 4 решения:
, 
, 
, 
среди которых содержатся корни исходного уравнения. 1-й корень, очевидно, удовлетворяет уравнению. Это проверяется легко. 2-й и 3-й не походят, так как правая часть исходного уравнения при этих значениях отрицательна. 4-й корень тоже является лишним, так как этот корень должен удовлетворять уравнению (*), а при этом значении его правая часть отрицательна.Ответ. 3.
Решение уравнений методом интервалов
Применение метода интервалов основано на следующей
Теорема Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак.
Это означает, что нули функции и границы промежутков ее непрерывности разделяют область определения функции на участки, где она сохраняет постоянный знак. Применение метода поясним на примере.
Пример Решим неравенство
Пусть
. Областью определения данной функции есть 
. Решая уравнение (см. ), получим, что функция 
не обращается в нуль ни при каком значении переменной. Это означает, что на всей области определения функция является знакопостоянной. Вычисляя, например, 
, получаем, что функция принимает только положительные значения.Ответ.
.Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Суть состоит в слудующем. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений. Это позволяет, последовательно перебирая эти промежутки, одновременно избавляться от всех модулей и решать обычное уравнение или неравенство (проверяя при этом, что найденный ответ входит в данный промежуток).
Решение уравнений домножением на положительный множитель
Пример Решить неравенство
Решение. ``Ловушка'' заключается в том, что в задаче имеется несколько модулей, раскрывать которые -- значит получить, громоздкое решение. Умножим дробь на некоторое выражение, принимающее лишь положительные значения и такое, чтобы упростить исходное неравенство:
Ответ.
.Типовые тестовые задачи, содержащие переменную под знаком модуля
Пример Найти корни уравнения 
.
Решение. Так как
, то из уравнения следует, что 
, 
. Тогда исходное уравнение примет вид: 
, 
. Корни этого уравнения 
, 
. Корень 
, поэтому он не является решением, а 
.Ответ.
.Пример Найти произведение корней уранения 
.
Решение. Обозначим
, 
. Тогда исходное уравнение примет вид: 
. Корни этого уравнения 
, 
. Так как 
, то 
. Отсюда 
, 
. Произведение корней равно 
.Ответ.
.Пример Найти разность между наибольшими и наименьшим корнями уравнения 
.
Решение. Обозначим
, . Тогда исходное уравнение примет вид: 
. Решим его. Корни этого уравнения 
, 
. Так как , то значение 
не подходит. Поэтому 
. Разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения равна 
.Ответ.
.Пример Найти сумму корней уравнения 
.
Решение. Используем правило:
. Исходное уравнение запишем в виде совокупности уравнений: 
Таким образом сумма корней исходного уравнения равна 
.Другой путь. Поскольку обе части уравнения неотрицательны, возведем уравнение в квадрат. Получим:
, 
. Так как дискриминант уравнения положительный, то по теореме Виета сумма корней равна 
Ответ.
.Пример Сколько целых корней на отрезке 
имеет уравнение
Решение. Рассмотрим квадратный трехчлен
. Так как 
, то 
, поэтому исходное уравнение запишется как 
Последнее уравнение эквивалентно неравенству
, решение которого 
. Таким образом, уравнение имеет 6 корней на отрезке 
: 
, 
, 
, 
, 
, 
.